4. Formes quadratiques sur Zn
On se borne aux formes quadratiques sur Zn non dégénérées, qui s'écrivent sous la forme Q : x ↦ B(x, x), où B est une forme bilinéaire sur Zn × Zn à valeurs dans Z ; la forme bilinéaire associée à Q est donc 2 B, et ce qu'on appelle la matrice de Q est ici la matrice de B (et non celle de 2 B) par rapport à la base canonique de Zn ; c'est par suite une matrice symétrique non dégénérée arbitraire à coefficients entiers. Le problème fondamental est l'étude de l'équation (3), où T1 et T2 sont deux telles matrices, d'ordres respectifs n et m ≤ n, et où la matrice inconnue X est une matrice de type (m, n) à coefficients entiers. Pour m = n, les matrices T2 pour lesquelles (3) a une solution constituent la classe de T1.
Une autre manière de présenter l'étude des formes quadratiques sur Zn est de considérer une forme quadratique non dégénérée fixe sur Rn. Si B est la forme bilinéaire symétrique associée, on considère les réseaux E dans Rn, à savoir les Z-modules de type fini engendrant l'espace Rn, tels que B(x, y) soit entier pour x et y dans E ; deux tels réseaux sont isomorphes s'ils se déduisent l'un de l'autre par une transformation orthogonale (pour B). Comme tout réseau est un Z-module libre (donc isomorphe à Zn), les diverses bases de E correspondent aux formes quadratiques sur Zn formant une classe d'équivalence. L'avantage de cette présentation est qu'elle s'étend au cas où l'on remplace Z par l'anneau des entiers d'un corps de nombres algébriques ; les réseaux sur un tel anneau ne sont plus nécessairement des modules libres.
Dans l'étude des formes quadratiques sur Zn, on est amené à chercher à étendre le « principe de Hasse » de la théor […]
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