3. Réduction des formes quadratiques
Nous ne considérerons plus à partir de maintenant que des formes quadratiques non dégénérées sur le corps R des nombres réels, définies dans un espace Rr, et nous nous intéresserons aux sous-groupes Γ du groupe linéaire GL(r, R) opérant à droite, par (g, Q) ↦ Q ∘ g, dans l'espace Q(Rr) de ces formes. Deux cas sont particulièrement étudiés, correspondant au groupe orthogonal Γ = O(r, R) et au groupe Γ = SL(r, Z) des matrices inversibles de déterminant 1 à coefficients entiers. Nous renvoyons pour le premier cas à l'article théorie spectrale, le problème étant celui de la réduction d'une forme quadratique (ou d'une « hyperquadrique ») à ses « axes ». La théorie de la « réduction » correspond au second cas. Comme les orbites de GL(r, R) dans Q(Rr) sont les ensembles de formes de signature donnée (p, q), avec p + q = r (cf. supra, Résultats spéciaux, in Corps de caractéristique ≠ 2), il y a lieu de distinguer le cas des formes positives non dégénérées (c'est-à-dire p = r et q = 0) et le cas des formes où p et q sont tous deux > 0 (dites aussi « indéfinies »).
• Formes positives
L'ensemble H (ou Hr) de ces formes s'identifie à celui des matrices symétriques positives inversibles : c'est un « espace symétrique » H = K G d'Élie Cartan, avec G = GL(r, R) et K = O(r, R) qui est le stabilisateur de la matrice unité. Le problème essentiel de la théorie de la réduction est de trouver dans H un « ensemble fondamental » G′ aussi « petit » que possible tel que toute orbite de Γ dans H le rencontre : il suffit de pren […]
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