FONCTIONS ELLIPTIQUES & MODULAIRE

Ce sujet est traité dans les articles suivants :

1.  FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

Écrit par : Michel HERVÉ

Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xix^e siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des… Lire la suite

2.  ABEL NIELS HENRIK (1802-1829)

Écrit par : Jean-Luc VERLEY

…  nouveaux types d'équations, appelées de nos jours équations abéliennes, possédant cette propriété. *Avec le mémoire intitulé Recherches sur les fonctions elliptiques (1827), Abel crée, à peu près simultanément avec Jacobi, mais indépendamment de lui, une branche nouvelle de l'analyse mathématique, la théorie des fonctions elliptiques, et… Lire la suite

3.  ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Fonctions elliptiques"  : … Un *des plus beaux exemples de l'élargissement apporté à l'analyse classique par la considération des fonctions de variables complexes est fourni par la théorie des fonctions elliptiques, développée par Abel et Jacobi indépendamment des premiers travaux de Cauchy (une bonne part de leurs résultats et même des développements plus tardifs sur la… Lire la suite

4.  COURBES ALGÉBRIQUES

Écrit par : Luc GAUTHIER

Dans le chapitre "Courbes elliptiques"  : … Cette forme réduite, définie à une homothétie près, dépend du seul paramètre : La définition de la *fonction elliptique p(u) de Weierstrass met en évidence la représentation paramétrique x = p(u), y = p′(u) ; c'est la raison pour laquelle les cubiques sans singularité sont appelées cubiques elliptiques.… Lire la suite

5.  EISENSTEIN FERDINAND GOTTHOLD MAX (1823-1852)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien allemand, né et mort à Berlin. Théoricien des nombres, fortement influencé par Gauss, Eisenstein trouva la source de son inspiration dans le calcul algorithmique et les formules. De constitution fragile, sombrant jeune dans une mélancolie pathologique, il avait comme mathématicien une puissance de production inouïe. De 1833 à 1837,… Lire la suite

6.  GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

Écrit par : Pierre COSTABEL, Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "L'unité des mathématiques"  : … les premières années du siècle, s'inscrit comme le précurseur d'une large part de la théorie des *fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, une des œuvres maîtresses du xix^e siècle. Il s'agit peut-être là de la partie la plus profonde de toute l'œuvre de Gauss et, en raison de son caractère technique, il est difficile… Lire la suite

7.  HALPHEN GEORGES-HENRI (1844-1889)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien brillant, travailleur acharné, doué d'un profond talent d'algébriste, Georges-Henri Halphen a attaché son nom surtout à des résultats de géométrie analytique. Né à Rouen le 30 octobre 1844, il fut élevé à Paris, reçut sa première formation au lycée Saint-Louis, entra à l'École polytechnique en 1862 et sortit en 1866 comme lieutenant d… Lire la suite

8.  HECKE ERICH (1887-1947)

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

… *Né à Buk (Posnanie), Hecke fut l'élève de Hilbert à Göttingen, où il soutint sa thèse en 1912. Il enseigna brièvement à Bâle et à Göttingen, puis à Hambourg à partir de 1919, où il demeura jusqu'à sa mort. Hecke a consacré la quasi-totalité de ses recherches à la fascinante partie des mathématiques où se mêlent, depuis Gauss, fonctions elliptiques… Lire la suite

9.  HERMITE CHARLES (1822-1901)

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Algèbre et analyse"  : … la marque de son tempérament d'algébriste. Son sujet de prédilection pendant toute sa vie a été la* théorie des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes, dont il aimait particulièrement explorer les liens cachés avec l'algèbre et la théorie des nombres. Un de ses résultats qui frappa le plus ses contemporains est la résolution de l'… Lire la suite

10.  HURWITZ ADOLF (1859-1919)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Élève de Felix Klein, Adolf Hurwitz représentait une tendance unificatrice en mathématiques. Avec ses étudiants Hilbert et Minkowski, il s'éleva contre le partage abusif des mathématiques en de nombreuses branches, non seulement suivant le sujet traité, mais même suivant la façon d'aborder une matière. On a pu comparer les mémoires de Hurwitz à des… Lire la suite

11.  JACOBI CARL (1804-1851)

Écrit par : Jean ITARD

Dans le chapitre "Fonctions elliptiques"  : … Jacobi, qui ignorait les travaux non encore publiés d'Abel, écrivit ses premiers essais sur les *fonctions elliptiques obtenues par inversion des intégrales elliptiques (cf. abel [n.h.], analyse mathématique, chap. 2). A. M. Legendre remarqua ses travaux et signala « la grande sagacité de l'auteur et la fécondité de… Lire la suite

12.  NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "Sommes de carrés"  : … . Les premiers exemples de cette méthode ont été donnés par Jacobi à l'aide de sa théorie des *fonctions elliptiques, pour le problème consistant à chercher le nombre de solutions en nombres entiers (positifs ou négatifs) de l'équation à r inconnues : Ce nombre est le coefficient de zⁿ dans le… Lire la suite

13.  NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par : Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Analyse p-adique"  : … Leffler. En s'inspirant de la théorie de Jacobi, J. Tate a élaboré une théorie analytique des *fonctions elliptiques sur un corps p-adique. Soit q ∈ Qp tel que 0 < |q| < 1, on considère le corps des fonctions strictement méromorphes dans Qp − {0} (… Lire la suite

14.  NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques

Écrit par : Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Lien avec les fonctions elliptiques"  : … La théorie des *fonctions elliptiques (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire) est une autre voie par laquelle les nombres algébriques sont intervenus en mathématiques : si p est une fonction elliptique de Weierstrass, on sait en général exprimer p(nu) par une fonction rationnelle de p(u) et de p′(… Lire la suite

15.  SYLVESTER JAMES JOSEPH (1814-1897)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien anglais, né et mort à Londres, qui a créé avec Arthur Cayley la théorie des invariants algébriques. En 1838, James Joseph Sylvester devint professeur de philosophie naturelle au collège de l'université de Londres. En 1841, il accepta la chaire de mathématiques de l'université de Virginie (Charlottesville), mais donna sa démission au… Lire la suite

16.  WEBER HEINRICH MARTIN (1842-1913)

Écrit par : Jeanne PEIFFER

… *Universalité. C'est le mot qui caractérise peut-être le mieux le mathématicien allemand Heinrich Weber. Esprit souple, il était capable de travailler dans des domaines très divers des mathématiques. Mais il concentra surtout ses recherches sur l'analyse et ses applications à la physique mathématique et obtint ses résultats les plus profonds en… Lire la suite

17.  WEIERSTRASS KARL THEODOR WILHELM (1815-1897)

Écrit par : Michel HERVÉ

Dans le chapitre "La théorie des fonctions elliptiques"  : … La* théorie des fonctions elliptiques, elle aussi, doit beaucoup à Weierstrass. C'est lui qui introduit les fonctions p, ζ, σ (cf. fonctions analytiques - Fonctions elliptiques et modulaire), cette dernière construite à l'aide d'un produit infini de Weierstrass ; c'est lui qui reconnut l'existence d'une relation algébrique entre f … Lire la suite

18.  WEIL ANDRÉ (1906-1998)

Écrit par : Jean DIEUDONNÉ

… *Mathématicien français né à Paris dont les travaux portent principalement sur la géométrie algébrique et ses applications à la théorie des nombres. André Weil entra à l'École normale supérieure à l'âge de seize ans ; il fut docteur ès sciences à vingt-deux ans, avec une thèse qui fit époque : il y étendait à toutes les courbes algébriques un… Lire la suite