Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante :
Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xviie siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc.) par des développements en série analogues. Au xviiie siècle, la plupart des mathématiciens en étaient arrivés à ne plus guère considérer comme dignes d'intérêt que les fonctions dites « analytiques », égales à la somme d'une série convergente du type :
La plupart des fonctions considérées au xviiie siècle étaient implicitement supposées analytiques, et J. L. Lagrange, dans sa Théorie des fonctions analytiques (1797), tente de fonder une théorie formelle de la dérivation, indépendante de la notion d'infiniment petit ou de limite, sur le concept de développement en série entière.
Si, depuis le début du xixe siècle, il a fallu abandonner ce point de vue trop exclusif, et donner droit de cité à des fonctions bien moins « régulières » que les fonctions analytiques, le rôle de ces dernières reste fondamental dans toutes les parties des mathématiques. En fait, le concept d'analyticité s'est même élargi depuis le début du xxe siècle ; la définition d'une série entière :
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