3. Surfaces de Riemann
• Projection stéréographique et sphère de Riemann
Considérons la sphère S2 de centre O et de rayon 1 dans l'espace R3 (où les coordonnées sont notées x, y, t ). La projection stéréographique de pôle (0, 0, 1) sur le plan t = 0 est l'application qui, à chaque point (x, y, t ) de la sphère distinct de (0, 0, 1), associe le point où la droite joignant (0, 0, 1) à (x, y, t ) rencontre le plan t = 0.
Ainsi, l'image de (x, y, t ) est le point :
soit :
avec la notation complexe. Il est facile de montrer que cette application conserve les angles (c'est-à-dire que l'application linéaire tangente possède cette propriété). C'est une représentation conforme de la sphère privée du pôle (0, 0, 1) sur le plan
C.
On peut aussi considérer la projection stéréographique de pôle (0, 0, − 1), qui s'écrit :
et représente conformément la sphère privée de (0, 0, − 1) sur
C. Il n'a pas été tenu compte des questions d'orientation et un même angle orienté sur la sphère est transformé en des angles opposés par les deux projections ; ce défaut se corrige en composant la deuxième projection avec la symétrie d'axe réel, ce qui donne la représentation conforme :
de la sphère privée de (0, 0, − 1) sur
C. Si
z et
z′ sont les images d'un même point (
x
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