La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvie siècle). Au début du xixe siècle, Carl Friedrich Gauss étudia systématiquement les propriétés intrinsèques des surfaces de l'espace habituel ; en particulier, il examina les applications bijectives d'une surface sur une autre qui sont différentiables, ainsi que leur réciproque, et qui conservent les angles. La notion de représentation conforme reçut un nouvel éclairage avec l'avènement de la théorie des fonctions d'une variable complexe, à laquelle elle est intimement liée. Bernhard Riemann sut exploiter cette relation de façon particulièrement féconde, introduisant la notion de surface de Riemann, qui résout les difficultés dues aux « fonctions multiformes » et donne un cadre convenable à la théorie du prolongement analytique. Cette théorie pose un certain nombre de problèmes topologiques qui ont conduit Bernhard Riemann et Henri Poincaré à développer les premières bases de la topologie algébrique.
1. Définition
• La représentation conforme
Considérons un domaine D du plan R2. On dit qu'une application différentiable f de D dans R2 est conforme en un point z0 de D si sa dérivée (ou application linéaire tangente) D1 f (z0) en z0 conserve les angles orientés (cf. calcul infinitésimal – Calcul à plusieurs variables). En convenant que l'angle en z0 de deux chemins différentiables γ1 et γ2 passant par z0 est l'angle de leurs tangentes en z0, on voit que cette condition revient à la suivante : l'angle orienté en f (z0) des chemins images f ∘ γ1 et f ∘ γ2 est égal à l'angle orienté de γ1 et γ2 en z0, quels que soient les chemins γ1 et γ2
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