7. Les fonctions périodiques de plusieurs variables complexes
La construction de la fonction p de Weierstrass montre, parmi bien d'autres choses, qu'étant donné deux nombres complexes τ1, τ2 linéairement indépendants sur le corps R des nombres réels il existe toujours une fonction méromorphe sur le plan C, dont le groupe de périodes est exactement celui qu'engendre le couple τ1, τ2.
Il n'en est plus ainsi lorsqu'on passe à m variables complexes, m≥ 2. Étant donné 2 m vecteurs τ1, ..., τ2m dans Cm (écrits dans la suite comme colonnes d'une matrice T à m lignes), linéairement indépendants sur R, pour qu'il existe une fonction méromorphe sur Cm, dont le groupe de périodes soit exactement celui qu'engendrent τ1, ..., τ2m, il faut et il suffit que ces 2 m vecteurs soient liés par les conditions de Frobenius suivantes : Il existe une matrice carrée A d'ordre 2 m, inversible et symétrique gauche, à éléments entiers, telle que la matrice symétrique gauche (d'ordre m) TA(tT) soit nulle, ce qui fait m(m – 1)/2 équations linéaires, et la matrice hermitienne (d'ordre m) i T−A(tT) définie positive.
D'autre part, le mathématicien Carl Ludwig Siegel a étendu à plusieurs variables le groupe modulaire, sous le nom de groupe modulaire symplectique. Au lieu d'une variable ζ telle que (1/i)(ζ − Z̄) > 0, il considère une matrice carrée symétrique Z d'ordre m, telle que la matrice hermitienne (l/i)(Z − Z̄) soit définie positive : Z décrit alors, dans Cp avec p = m(m + 1)/2, un domaine de Siegel, qui est lié aux conditions de Frobenius, comme le demi-plan supérieur à la condition ζ = τ1/τ2 non réel. De même que les automorphismes du demi-plan supérieur sont les homographies ζ ↦ (aζ + b)(cζ + d)-1 avec a, b, c, d réels, ad − bc = 1, ou :[…]
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