6. Les fonctions automorphes
On doit à Henri Poincaré (1854-1912) une vaste extension des fonctions elliptiques. Les translations étant des automorphismes du plan, c'est-à-dire des bijections holomorphes du plan sur lui-même, et les fonctions G-elliptiques des fonctions méromorphes sur le plan invariantes par le groupe G d'automorphismes, on peut de même se donner un groupe G d'automorphismes d'un disque ou demi-plan D et chercher des fonctions méromorphes sur D invariantes par G : on les appellera G-automorphes.
Pour qu'il en existe d'autres que les constantes, il est évidemment nécessaire que G satisfasse à la condition suivante, que Poincaré énonçait « G-discontinu », et qu'on énonce maintenant « G-discret » : aucun élément g de G n'est limite d'éléments de G distincts de g. Poincaré montra que cette condition nécessaire est aussi suffisante pour qu'il existe des fonctions G-automorphes (il disait « fuchsiennes ») non constantes.
Lorsque la variété D/G n'est pas compacte, ce qui est le cas général, deux fonctions G-automorphes ne sont pas en général liées par une relation algébrique : ainsi, pour le groupe modulaire, la fonction modulaire J est une fonction automorphe holomorphe, donc aussi eJ, qui n'est pas liée algébriquement à J. Une fonction automorphe pour ce groupe est liée algébriquement à J, si, et seulement si, comme J d'après la formule (8), cette fonction est une fonction méromorphe de w = exp (2 πiζ) pour |w| < 1.
Poincaré caractérisa les domaines fondamentaux Δ des groupes G-discrets, et divisa ces groupes en familles suivant la disposition de Δ, dont dépend l'existence d'une relation algébrique entre deux fonctions G-automorphes. La première famille est formée des groupes G pour lesquels la frontière de Δ ne rencontre pas celle de D ; ce sont aussi les groupes G pour lesquels la variété D/G est compacte, de sorte que deux fonctions G-automorphes quelconques sont liées par une relation algébrique.
Inversement, à toute relation algébrique entre deux variables x et y, on peut […]
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