5. La fonction modulaire
Les formules (3) associent au groupe G les nombres g2 et g3, appelés invariants de G ; on peut en effet les considérer comme fonctions d'un couple τ, τ′ de périodes engendrant G, et ces fonctions sont inchangées quand on remplace le couple τ, τ′ par un autre couple engendrant G, donc par un couple aτ + bτ′, cτ + dτ′, où a, b, c, d sont des entiers tels que ad − bc = 1.
En outre, le rapport g23/g32 est conservé par une homothétie sur G, donc est fonction du rapport ζ = τ/τ′ des deux périodes engendrant G, fonction inchangée quand on effectue sur la variable ζ une subtitution modulaire :
La fonction modulaire J est celle qui à ζ = τ/τ′ fait correspondre :
Le groupe modulaire, formé des substitutions modulaires, opérant sur le demi-plan supérieur, admet le domaine fondamental Δ défini par les inégalités :
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