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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

Les fonctions de Jacobi

Les développements en séries de p et ζ, en produit infini de σ, convergent lentement : si l'on garde seulement les termes ou facteurs correspondant aux périodes τ de modules ≤ k, l'erreur commise est de l'ordre de 1/k ; le calcul numérique exige une convergence plus rapide, au moins celle d'une série géométrique, qu'on obtient en formant d'autres fonctions.

Choisissons un couple de périodes τ, τ′ engendrant le groupe G : le rapport τ′/τ n'étant pas réel, on peut supposer sa partie imaginaire > 0, et, de plus, aussi grande que l'on veut, pour que le développement (6) ci-dessous converge plus vite ; alors λ = exp (πiτ′/τ) est le module < 1, aussi petit que l'on veut. On note :

somme portant sur tous les entiers k : c'est une fonction holomorphe partout, impaire, vérifiant :
elle ne dépend que des rapports τ′/τ et u/τ.

Par suite, la fonction méromorphe paire :

admet les demi-périodes τ et τ′, et la fonction méromorphe impaire :
admet la demi-période τ et la période τ′ ; on obtient les fonctions 2 G-elliptiques (2 G-homothétique de G dans le rapport 2) cn u et sn u en les multipliant respectivement par des constantes telles que cn 0 = sn τ/2 = 1. La notation de ces nouvelles fonctions rappelle celle des fonctions circulaires cos et sin en raison de certaines analogies : ainsi cn2u + sn2u = 1 ; comme ces fonctions ne dépendent que des rapports τ′/τ et u/τ on peut choisir τ en fonction de τ′/τ de manière que les développements de Maclaurin commencent par :
où k2 ne dépend que de τ′/τ ; sn u est alors solution de l'équation différentielle :
donc s'obtient aussi par inversion de l'intégrale elliptique de Legendre :

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Domaine du groupe modulaire - crédits : Encyclopædia Universalis France

Domaine du groupe modulaire

Encyclopædia Universalis France

Autres références

  • FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 181 mots

    Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire...

  • PRIX ABEL 2016

    • Écrit par Yves GAUTIER
    • 1 168 mots
    • 2 médias
    Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)2 f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant...

  • ANALYSE MATHÉMATIQUE

    • Écrit par Jean DIEUDONNÉ
    • 8 527 mots
    ...exemple pour la fonction égale à exp (− 1/x2) pour x ≠ 0 et à 0 pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis...

  • ANNEAUX & ALGÈBRES

    • Écrit par Jean-Luc VERLEY
    • 5 036 mots
    • 1 média
    ...fonctions analytiques à l'origine O du plan complexe. Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et ...

  • ASYMPTOTIQUES CALCULS

    • Écrit par Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
    • 6 250 mots
    • 1 média
    ...) = etReh(x+iy), appelé le relief de eth(z). Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont...
  • Afficher les 20 références

Voir aussi

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