1. Intégrales circulaires et elliptiques
Le calcul intégral classique montre qu'une intégrale de la forme :
où P(
x) est un polynôme du 2
e degré sans racine double, se calcule à l'aide de fonctions dites élémentaires, c'est-à-dire circulaires ou hyperboliques. Posons par exemple :
si
x et
t sont réels, ils doivent être comprisentre ± 1, et l'on a
u = Arc sin
x, dont la fonction inverse est
x = sin
u ; comme
u reste compris entre ± π/2, la période 2 π de cette fonction inverse n'apparaît pas si l'on prend
x et
t réels.
Mais prenons-les complexes : si ω est l'ensemble des points du plan dont l'affixe est non réel ou réel strictement compris entre ± 1, la fonction :
a une détermination holomorphe sur ω, valant 1 à l'origine, qui à son tour a une primitive
u(
x) holomorphe sur ω et nulle à l'origine. Quand
x varie dans ω le long de la partie [1, + ∞ [ (resp.] − ∞, − 1]) de la frontière, au-dessus ou au-dessous,
u décrit la droite Re
u = π/2 (resp. − π/2) au-dessus ou au-dessous de l'axe réel. De la
formule intégrale de Cauchy (cf.
fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 5) résulte alors une correspondance conforme biunivoque entre
x décrivant ω et
u décrivant la bande δ définie par :
Le principe de symétrie de Schwarz (cf. fonction analytique - Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 4) permet de prolonger cette correspondance par symétrie par rapport aux f […]
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