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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

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Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xix^e siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des fonctions algébriques, du domaine de l'algèbre et de la géométrie algébrique. Généralisées par H. Poincaré, qui a étudié les fonctions « fuchsiennes », elles sont aussi à l'origine de la théorie des fonctions automorphes. Il s'agit là de deux branches très actives des mathématiques contemporaines, qui utilisent simultanément des techniques d'analyse et d'algèbre très élaborées.

1. Intégrales circulaires et elliptiques

Le calcul intégral classique montre qu'une intégrale de la forme :

où P(x) est un polynôme du 2^e degré sans racine double, se calcule à l'aide de fonctions dites élémentaires, c'est-à-dire circulaires ou hyperboliques. Posons par exemple :

si x et t sont réels, ils doivent être comprisentre ± 1, et l'on a u = Arc sin x, dont la fonction inverse est x = sin u ; comme u reste compris entre ± π/2, la période 2 π de cette fonction inverse n'apparaît pas si l'on prend x et t réels.

Mais prenons-les complexes : si ω est l'ensemble des points du plan dont l'affixe est non réel ou réel strictement compris entre ± 1, la fonction :

a une détermination holomorphe sur ω, valant 1 à l'origine, qui à son tour a une primitive u(x) holomorphe sur ω et nulle à l'origine. Quand x varie dans ω le long de la partie [1, + ∞ [ (resp.] − ∞, − 1]) de la frontière, au-dessus ou au-dessous, u décrit la droite Re u = π/2 (resp. − π/2) au-dessus ou au-dessous de l'axe réel. De la formule intégrale de Cauchy (cf. […]

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1. Mathématiques »
2. Analyse mathématique

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Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante : Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xvii^e siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc.) par des… Lire la suite
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BOREL ÉMILE (1871-1956): Écrit par : Maurice FRÉCHET
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HAAR ALFRÉD (1885-1933): Écrit par : Jeanne PEIFFER
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HADAMARD JACQUES (1865-1963): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Fonctions analytiques" : … Les *premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière : à partir des propriétés de la suite (an) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure d'une suite qui se révèle… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943): Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
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LANDAU EDMUND (1877-1938): Écrit par : Jacques MEYER
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LERAY JEAN (1906-1998): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
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MITTAG-LEFFLER GÖSTA (1846-1927): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
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MONTEL PAUL (1876-1975): Écrit par : Pierre LELONG
… mathématique ». Paul Montel a eu le mérite et la chance d'appliquer la notion à l'étude des *fonctions analytiques d'une variable complexe. Dans ce cas, les fonctions bornées en module forment des familles également continues. De là est née la notion de « famille normale ». En dehors des ensembles bornés de nombres et de l'application du… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques: Écrit par : Christian HOUZEL
Dans le chapitre "Analyse p-adique" : … On peut développer une théorie des *fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe). Par exemple, la série exponentielle : converge dans le « disque ouvert » de… Lire la suite
NORMÉES ALGÈBRES: Écrit par : Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR
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POINCARÉ HENRI (1854-1912): Écrit par : Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY
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PÓLYA GEORGE (1887-1985): Écrit par : Jean-Pierre KAHANE
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