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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des fonctions algébriques, du domaine de l'algèbre et de la géométrie algébrique. Généralisées par H. Poincaré, qui a étudié les fonctions « fuchsiennes », elles sont aussi à l'origine de la théorie des fonctions automorphes. Il s'agit là de deux branches très actives des mathématiques contemporaines, qui utilisent simultanément des techniques d'analyse et d'algèbre très élaborées.

1.  Intégrales circulaires et elliptiques

Le calcul intégral classique montre qu'une intégrale de la forme :

où P(x) est un polynôme du 2e degré sans racine double, se calcule à l'aide de fonctions dites élémentaires, c'est-à-dire circulaires ou hyperboliques. Posons par exemple :
 si x et t sont réels, ils doivent être comprisentre ± 1, et l'on a u = Arc sin x, dont la fonction inverse est x = sin u ; comme u reste compris entre ± π/2, la période 2 π de cette fonction inverse n'apparaît pas si l'on prend x et t réels.

Mais prenons-les complexes : si ω est l'ensemble des points du plan dont l'affixe est non réel ou réel strictement compris entre ± 1, la fonction :

a une détermination holomorphe sur ω, valant 1 à l'origine, qui à son tour a une primitive u(x) holomorphe sur ω et nulle à l'origine. Quand x varie dans ω le long de la partie [1, + ∞ [ (resp.] − ∞, − 1]) de la frontière, au-dessus ou au-dessous, u décrit la droite Re u = π/2 (resp. − π/2) au-dessus ou au-dessous de l'axe réel. De la formule intégrale de Cauchy (cf. foncti […]

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ANALYSE MATHÉMATIQUE

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ANNEAUX & ALGÈBRES

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ASYMPTOTIQUES CALCULS

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BOREL ÉMILE (1871-1956)

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HADAMARD JACQUES (1865-1963)

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HILBERT DAVID (1862-1943)

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LANDAU EDMUND (1877-1938)

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… *Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen et participa, aux côtés de Christian F. Klein et de… Lire la suite
LERAY JEAN (1906-1998)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

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MITTAG-LEFFLER GÖSTA (1846-1927)

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… *Mathématicien suédois, né à Stockholm, dont les travaux portent principalement sur la théorie des équations linéaires homogènes et sur la théorie des fonctions analytiques. On lui doit notamment le célèbre théorème (qui porte son nom) sur la représentation des fonctions méromorphes par des séries de fractions rationnelles. À la fois savant et… Lire la suite
MONTEL PAUL (1876-1975)

Écrit par :  Pierre LELONG

…  mathématique ». Paul Montel a eu le mérite et la chance d'appliquer la notion à l'étude des *fonctions analytiques d'une variable complexe. Dans ce cas, les fonctions bornées en module forment des familles également continues. De là est née la notion de « famille normale ». En dehors des ensembles bornés de nombres et de l'application du… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par :  Christian HOUZEL

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POINCARÉ HENRI (1854-1912)

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Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  apporta également des contributions d'importance fondamentale et pionnières à la théorie des *fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, qui existait à peine avant lui. Il montra en 1883, en utilisant le principe de Dirichlet (cf. infra, Physique mathématique et physique théorique) pour la fonction ln |FLire la suite
PÓLYA GEORGE (1887-1985)

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

…  fonctions caractéristiques au sens des probabilités. Parmi les nombreux théorèmes de Pólya sur les *fonctions analytiques, voici une perle (1927) : Si (ln), est une suite positive de densité nulle (n/ln X 0) et si f(s) est, au voisinage d'un point, approchable par des combinaisons linéaires des… Lire la suite

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