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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions elliptiques et modulaire

Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des fonctions algébriques, du domaine de l'algèbre et de la géométrie algébrique. Généralisées par H. Poincaré, qui a étudié les fonctions « fuchsiennes », elles sont aussi à l'origine de la théorie des fonctions automorphes. Il s'agit là de deux branches très actives des mathématiques contemporaines, qui utilisent simultanément des techniques d'analyse et d'algèbre très élaborées.

1.  Intégrales circulaires et elliptiques

Le calcul intégral classique montre qu'une intégrale de la forme :

où P(x) est un polynôme du 2e degré sans racine double, se calcule à l'aide de fonctions dites élémentaires, c'est-à-dire circulaires ou hyperboliques. Posons par exemple :
 si x et t sont réels, ils doivent être comprisentre ± 1, et l'on a u = Arc sin x, dont la fonction inverse est x = sin u ; comme u reste compris entre ± π/2, la période 2 π de cette fonction inverse n'apparaît pas si l'on prend x et t réels.

Mais prenons-les complexes : si ω est l'ensemble des points du plan dont l'affixe est non réel ou réel strictement compris entre ± 1, la fonction :

a une détermination holomorphe sur ω, valant 1 à l'origine, qui à son tour a une primitive u(x) holomorphe sur ω et nulle à l'origine. Quand x varie dans ω le long de la partie [1, + ∞ [ (resp.] − ∞, − 1]) de la frontière, au-dessus ou au-dessous, u décrit la droite Re u

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Pour citer cet article

Michel HERVÉ, « FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire  », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le  . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/fonctions-analytiques-fonctions-elliptiques-et-modulaire/

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