9. Autres développements
Depuis 1970, la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables a continué à se développer très rapidement. La géométrie analytique du type de celle qui fut introduite par H. Cartan et J.-P. Serre, fondée sur la théorie des faisceaux et l'algèbre homologique, a poursuivi son essor rapide avec en particulier la théorie des déformations d'espaces analytiques (O. Forster et Kuranishi) et celle des systèmes différentiels holomorphes Kawai, Kashiwara, Schapira.
Néanmoins, le fait le plus nouveau et le plus marquant est sans aucun doute l'importance prise dans le domaine des fonctions de plusieurs variables par l'analyse complexe fine à plusieurs variables à la suite des travaux de L. Hörmander sur la d″-cohomologie à croissance et de ceux de G. M. Henkin, I. Lieb et H. Grauert sur la d″-cohomologie bornée. Nous allons parler essentiellement de cet aspect nouveau et nous nous limiterons en ce qui concerne le premier aspect à l'exposé du problème de J.-P. Serre.
• Le problème de J.-P. Serre en géométrie analytique
Soit X un espace fibré de base B, de fibre F, ce qui signifie qu'il existe une application π holomorphe de X sur B et que, pour tout point b ∈ B, il existe un voisinage ouvert ω de b et un isomorphisme ϕ de π-1(ω) sur ω × F tel que le diagramme suivant soit commutatif :
Le problème de J.-P. Serre est alors le suivant : si B et F sont des espaces de Stein, l'espace total X du fibré est-il de Stein ? La réponse est positive dans un grand nombre de cas particuliers, lorsque la fibre est une variété de dimension 1, lorsque la fibre est un ouvert de Stein, borné, de Cn dont le groupe H1 (F, C) est […]
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