7. La théorie de Cartan-Serre
En 1951, Henri Cartan et Jean-Pierre Serre ont introduit la notion de variété de Stein. Ce sont les variétés analytiques complexes V qui possèdent les propriétés suivantes :
a) si, pour tout compact K ⊂ V, on désigne par K̂ l'ensemble des points z ∈ V tels que :
b) si x et y sont deux points distincts de V, il existe une fonction f holomorphe sur V qui sépare x et y, c'est-à-dire telle que :
c) pour tout point z0 ∈ V il existe des coordonnées locales données par des fonctions holomorphes dans V tout entier, c'est-à-dire qu'il existe un voisinage de z0 et des fonctions f 1, f 2, ..., f n holomorphes dans V, telles que z ↦ (f 1(z), f 2(z), ..., f n(z)) soit un isomorphisme analytique de ce voisinage sur un ouvert de l'espace Cn.
H. Cartan et J.-P. Serre ont montré que les principales propriétés des domaines d'holomorphie s'étendaient aux variétés de Stein et ils ont mis la plupart des propriétés de passage du local au global sous forme cohomologique ; ce sont les fameux théorèmes A et B de H. Cartan.
À leur suite, Frenkel, dans un cas particulier, puis Grauert, dans le cas général, ont établi la validité du « principe d'Oka » dans un cadre étendu.
Après Cartan-Serre, la théorie des espaces analytiques a été intensivement développée (Remmert, Grauert, Grothendieck) ; l'étude locale et l'étude du comportement des morphismes sont très importantes et on peut définir les analogues des variétés de Stein.
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