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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

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6.  Variétés et espaces analytiques

Un des sommets de la théorie des fonctions d'une variable complexe est l'étude des surfaces de Riemann et leur uniformisation par les fonctions automorphes de Klein-Poincaré. Les fonctions automorphes de plusieurs variables relèvent plus naturellement de la théorie des groupes de Lie (cf. groupes – Groupes de Lie) tandis que les surfaces de Riemann trouvent leur extension dans les notions de variété et d'espace analytiques que nous allons introduire ici.

Soit X un espace topologique séparé. Une structure d'espace annelé sur X est définie par la donnée, pour chaque ouvert U de X, d'un anneau A(U) et, pour toute paire U, V d'ouverts tels que V ⊂ U, d'un homomorphisme d'anneau :

pour f ∈ A(U), on dira que jV,U(f ) est la restriction de f à V. On impose aux homomorphismes donnés d'être compatibles, c'est-à-dire que, si W ⊂ V ⊂ U, on doit avoir :
et de satisfaire à la condition de recollement suivante. Soit (Ua) une famille d'ouverts de réunion U et supposons donné, pour tout a, un élément f a ∈ A(Ua) de telle sorte que, quels que soient a et b, les restrictions de f a et f b à Ua ∩ Ub soient égales ; la condition de recollement exprime qu'il existe alors un élément f ∈ A(U) unique dont la restriction à chaque Ua soit f a. Cette condition de recollement est la formalisation abstraite de l'idée que les éléments des anneaux A(U) sont caractérisés par des propriétés de nature « locale ».

Par exemple, dans X = Cn, pour tout ouvert U, soit A(U) l'anneau (pour l'addition et la multiplication usuelles) des fonctions holomorphes dans U, et, pour V ⊂ U, soit j […]

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FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

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ANALYSE MATHÉMATIQUE

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ANNEAUX & ALGÈBRES

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Dans le chapitre "Anneaux et algèbres de fonctions"  : …  Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une *fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et g coïncident sur un voisinage ouvert W de O contenu dans U ∩ V ;… Lire la suite
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BOREL ÉMILE (1871-1956)

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HAAR ALFRÉD (1885-1933)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

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HADAMARD JACQUES (1865-1963)

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HILBERT DAVID (1862-1943)

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Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23"  : …  a connu un tel succès qu'il est à peine nécessaire de la mentionner : Choisir pour classe celle des*fonctions analytiques. Par contre, la seconde proposition mérite un instant de réflexion : Hilbert suggère qu'on s'intéresse à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions d'équations différentielles (ou aux… Lire la suite
LANDAU EDMUND (1877-1938)

Écrit par :  Jacques MEYER

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LERAY JEAN (1906-1998)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale… Lire la suite
MITTAG-LEFFLER GÖSTA (1846-1927)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

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MONTEL PAUL (1876-1975)

Écrit par :  Pierre LELONG

…  mathématique ». Paul Montel a eu le mérite et la chance d'appliquer la notion à l'étude des *fonctions analytiques d'une variable complexe. Dans ce cas, les fonctions bornées en module forment des familles également continues. De là est née la notion de « famille normale ». En dehors des ensembles bornés de nombres et de l'application du… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par :  Christian HOUZEL

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NORMÉES ALGÈBRES

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Dans le chapitre "Le calcul fonctionnel holomorphe"  : …  A une algèbre normée commutative unitaire semi-simple, a un élément de A et f une *fonction analytique définie sur un voisinage du spectre de a. Il existe un élément b de A, et un seul, tel que ∧b = f ∘ ∧a. Si, en particulier, f est un polynôme : b est alors l'élément : Si 0 n'… Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  apporta également des contributions d'importance fondamentale et pionnières à la théorie des *fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, qui existait à peine avant lui. Il montra en 1883, en utilisant le principe de Dirichlet (cf. infra, Physique mathématique et physique théorique) pour la fonction ln |F… Lire la suite
PÓLYA GEORGE (1887-1985)

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

…  fonctions caractéristiques au sens des probabilités. Parmi les nombreux théorèmes de Pólya sur les *fonctions analytiques, voici une perle (1927) : Si (ln), est une suite positive de densité nulle (n/ln X 0) et si f(s) est, au voisinage d'un point, approchable par des combinaisons linéaires des… Lire la suite

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