5. Les problèmes de Cousin
L'idée initiale remonte à H. Poincaré et ces problèmes ont été résolus, dans le cas particulier d'un polydisque, par J. Cousin dès 1895. La situation n'a plus évolué pendant près de quarante ans jusqu'aux travaux d'Oka ; les démonstrations d'Oka pour les domaines d'holomorphie ont été un pas important vers la théorie de Cartan-Serre.
Dans le cas d'une variable, on dit qu'une « fonction » est méromorphe dans un ouvert si elle n'a que des pôles ; on peut d'ailleurs l'interpréter comme une vraie fonction holomorphe à valeurs dans l'espace projectif. Dans le cas de plusieurs variables, on appellera fonction méromorphe dans un ouvert U la donnée d'une famille (Ui) d'ouverts, de réunion U, et dans chaque ouvert Ui d'une « fonction » f i/gi où f i et gi sont holomorphes dans Ui ; on suppose de plus que, dans chaque ouvert non vide de la forme Ui ∩ Uj, on a fi/gi = fj/gj, c'est-à-dire figj − fjgi = 0.
Étendons à plusieurs variables le problème de Mittag-Leffler qui consiste à déterminer dans le plan une fonction méromorphe admettant un système de développements polaires donnés. On peut le formuler ainsi : Soit un ouvert U réunion de polydisques ouverts Ui ; on se donne dans chaque Ui une fonction méromorphe fi/gi de telle sorte que fi/gi − fj/gj soit holomorphe dans Ui ∩ Uj quels que soient i et j ; alors il existe une « fonction » méromorphe admettant le système polaire donné, c'est-à-dire qu'il existe des fonctions f
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