4. Prolongement analytique
Soit Ω un ouvert de Cn ; nous supposerons cet ouvert connexe, ce qui implique ici que deux points quelconques de Ω peuvent être joints par une ligne polygonale entièrement située dans Ω. Si deux fonctions f et g holomorphes dans Ω sont égales dans un polydisque contenu dans Ω, alors elles sont égales dans tout Ω. Utilisant ce principe dit « du prolongement analytique », Weierstrass, dans le cas d'une variable complexe, a construit la surface de Riemann d'une fonction (cf. fonctions analytiques – Fonctions analytiques d'une variable complexe, chap. 7). Cela subsiste à un nombre quelconque de variables, mais des phénomènes nouveaux apparaissent.
Expliquons sur un exemple pourquoi la situation change quand on passe d'une variable à plusieurs variables. Soit tout d'abord Ω un ouvert du plan complexe. Si z0 est un point du complémentaire de Ω, la fonction z ↦ 1/(z − z0), dont la restriction à Ω est holomorphe dans Ω, ne se prolonge pas analytiquement en z0 ; donc, le domaine de prolongements analytiques commun à toutes les fonctions holomorphes dans Ω est cet ouvert lui-même. On peut même montrer qu'il existe des fonctions f holomorphes dans Ω qui ne se prolongent analytiquement en aucun point de la frontière de Ω ; cela signifie que, quel que soit le point t 0 appartenant à la frontière de Ω, et le voisinage ouvert V de t 0, il n'existe pas de fonction g holomorphe dans V qui soit égale à f dans V ∩ Ω. Considérons maintenant au contraire dans l'espace C2 l'ouvert Ω ainsi défini : choisissons deux nombres strictement positifs distincts A et B ; un point z appartiendra à Ω si |z1| < A et |z2| < B, ou bien si |z1| < B et |z2| < A. Utilisant une majoration des coefficients de Taylor à l'origine, on vérifie aisément que la série de Taylor de toute fonction f holomorphe dans Ω converge en fait dans l'ouvert défini par :
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