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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

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3.  Théorie des résidus

Liée aux représentations intégrales, on trouve la théorie des résidus, dont la puissance est bien connue dans le cas des fonctions d'une variable complexe. Les premiers travaux sur cette question remontent à H. Poincaré, à la fin du xixe siècle. Le développement de cette théorie est apparu comme urgent à la suite des travaux de Petrowski et de Herglotz sur les solutions élémentaires des équations aux dérivées partielles. Ces travaux, poursuivis et approfondis par Leray, l'ont conduit vers 1960 à l'exposé d'une théorie générale.

Définissons la notion de résidu, toujours dans le cas de deux variables complexes. Soit S une surface de C2 que l'on supposera définie par une équation s(z) = 0, et soit ϕ une forme différentielle fermée (c'est-à-dire de différentielle extérieure dϕ nulle) dans le complémentaire de S ; on supposera de plus s ( ϕ régulière au voisinage de S (on dit que ϕ n'a sur S que des singularités polaires d'ordre 1). On peut montrer qu'il existe des formes différentielles ψ et θ régulières au voisinage de S, telles que :

où ∧ désigne le produit extérieur des formes. De plus, la restriction de ψ à S, soit ψ|S, ne dépend pas du choix de l'équation s : on l'appelle forme résidu de ϕ. Si on remplace la forme ϕ par une forme ϕ′ qui lui est cohomologue, c'est-à-dire telle que ϕ − ϕ′ admette une primitive dans le complémentaire de S, alors le résidu ψ′|S de ϕ′ sera cohomologue au résidu ψ|S ; d'autre part, on prouve qu'étant donné une forme λ fermée dans le complémentaire de S, elle est cohomologue à une forme ϕ n'ayant sur S que des singularités polaires d'ordre 1. Ainsi, et bien que la formule de division ci-dessus ne s'applique pas à λ, on peut définir le résidu de λ qui sera celui de ϕ sur S. Le résidu ainsi défini n'est donné qu'au bord d'une forme fermée donnée sur S près, c'est-à-dire que la notion naturelle de résidu est celle de résidu d'une classe de cohomologie de formes données dans le complémentaire de S et que le résidu est lui aussi une classe de cohomologie de for […]

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ANALYSE MATHÉMATIQUE

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ANNEAUX & ALGÈBRES

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HADAMARD JACQUES (1865-1963)

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Dans le chapitre "Fonctions analytiques"  : …  Les *premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière : à partir des propriétés de la suite (an) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure d'une suite qui se révèle… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par :  Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23"  : …  a connu un tel succès qu'il est à peine nécessaire de la mentionner : Choisir pour classe celle des*fonctions analytiques. Par contre, la seconde proposition mérite un instant de réflexion : Hilbert suggère qu'on s'intéresse à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions d'équations différentielles (ou aux… Lire la suite
LANDAU EDMUND (1877-1938)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen et participa, aux côtés de Christian F. Klein et de… Lire la suite
LERAY JEAN (1906-1998)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale… Lire la suite
MITTAG-LEFFLER GÖSTA (1846-1927)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

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MONTEL PAUL (1876-1975)

Écrit par :  Pierre LELONG

…  mathématique ». Paul Montel a eu le mérite et la chance d'appliquer la notion à l'étude des *fonctions analytiques d'une variable complexe. Dans ce cas, les fonctions bornées en module forment des familles également continues. De là est née la notion de « famille normale ». En dehors des ensembles bornés de nombres et de l'application du… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

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NORMÉES ALGÈBRES

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Dans le chapitre "Le calcul fonctionnel holomorphe"  : …  A une algèbre normée commutative unitaire semi-simple, a un élément de A et f une *fonction analytique définie sur un voisinage du spectre de a. Il existe un élément b de A, et un seul, tel que ∧b = f ∘ ∧a. Si, en particulier, f est un polynôme : b est alors l'élément : Si 0 n'… Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  apporta également des contributions d'importance fondamentale et pionnières à la théorie des *fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, qui existait à peine avant lui. Il montra en 1883, en utilisant le principe de Dirichlet (cf. infra, Physique mathématique et physique théorique) pour la fonction ln |F… Lire la suite
PÓLYA GEORGE (1887-1985)

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

…  fonctions caractéristiques au sens des probabilités. Parmi les nombreux théorèmes de Pólya sur les *fonctions analytiques, voici une perle (1927) : Si (ln), est une suite positive de densité nulle (n/ln X 0) et si f(s) est, au voisinage d'un point, approchable par des combinaisons linéaires des… Lire la suite

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