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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions de plusieurs variables complexes

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2.  Représentations intégrales

Si f est une fonction holomorphe dans un ouvert Ω de Cn contenant un produit U1 × U2 ×  ... × Un d'ouverts de C de frontières régulières orientées γ1, γ2, ..., γn, alors, pour tout z = (z1, z2, ..., zn), zk ∈ Uk, pour k = 1, 2, ..., n, on a la représentation intégrale de Cauchy :

malheureusement, la fonction f est exprimée à partir de ses valeurs sur l'ensemble produit γ1 × γ2 × ... × γn, et une hypersurface aussi simple qu'une sphère par exemple n'est pas un ensemble produit. On a donc cherché des représentations intégrales qui étendent l'intégrale de Cauchy et s'appliquent à des cas plus généraux : citons les intégrales de Cauchy-Weil, de Martinelli, de Hua-Bergman, de Cauchy-Fantappié-Leray.

L'intégrale introduite par André Weil en 1932 a joué un rôle important dans l'évolution de la théorie. Nous allons la décrire dans le cas de deux variables complexes, en passant sur les difficultés. On appelle polyèdre analytique une partie compacte d'un ouvert ω de C2 définie par un nombre fini d'inégalités :

où les f j sont des fonctions holomorphes dans ω. On peut alors montrer qu'il existe des fonctions D1,j(z, u), et D2,j(z, u), définies dans un ensemble ouvert ω × ω′, où ω′ est un ouvert de C2 contenant K et contenu dans ω, telles que :

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ANALYSE MATHÉMATIQUE

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ANNEAUX & ALGÈBRES

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HADAMARD JACQUES (1865-1963)

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HILBERT DAVID (1862-1943)

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LANDAU EDMUND (1877-1938)

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LERAY JEAN (1906-1998)

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MITTAG-LEFFLER GÖSTA (1846-1927)

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MONTEL PAUL (1876-1975)

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NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

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NORMÉES ALGÈBRES

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POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

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PÓLYA GEORGE (1887-1985)

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

…  fonctions caractéristiques au sens des probabilités. Parmi les nombreux théorèmes de Pólya sur les *fonctions analytiques, voici une perle (1927) : Si (ln), est une suite positive de densité nulle (n/ln X 0) et si f(s) est, au voisinage d'un point, approchable par des combinaisons linéaires des… Lire la suite

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