La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, pendant très longtemps on ne connut presque rien de la théorie générale ; ce n'est qu'au xxe siècle, et surtout depuis 1950, que les résultats essentiels ont été obtenus, et la théorie est toujours en plein développement.
Dans l'étude classique de la théorie des fonctions d'une variable complexe, on considère : l'intégrale de Cauchy, la théorie des résidus, le prolongement analytique, les théorèmes de Weierstrass et de Mittag-Leffler. Dans une étude plus approfondie, on s'intéresse ensuite à la théorie des fonctions algébriques, des fonctions automorphes, etc. On examinera ici tous ces thèmes pour les fonctions de plusieurs variables ; partant du problème des domaines d'holomorphie, on donnera ensuite quelques indications sur les variétés de Stein et sur les espaces analytiques.
1. Premières propriétés
Nous désignerons par Cn l'espace vectoriel des suites de n nombres complexes et par z, ou (z1, z2, ..., zn), le point générique de cet espace.
Si α = (α1, α2, ..., αn) est une suite d'entiers positifs, on pose :
Si A = (A1, A2, ..., An) est une suite de nombres réels positifs, on appelle polydisque ouvert |z| < A le sous-ensemble de Cn défini par la suite d'inégalités :
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