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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

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9.  Théorèmes de décomposition

•  Théorème de factorisation de Weierstrass

La théorie de Weierstrass a pour objet de généraliser aux fonctions entières (c'est-à-dire analytiques dans tout le plan complexe) le théorème de d'Alembert-Gauss.

Les zéros non nuls d'une fonction entière peuvent être rangés en une suite (zn), chaque zéro étant répété dans cette suite un nombre de fois égal à sa multiplicité, telle que |zn| soit une suite croissante, car tout disque ne contient qu'un nombre fini de tels zéros.

D'une part, étant donné une telle suite (zn), il existe une fonction entière F associée à cette suite de zéros. L'idée la plus simple consiste à poser :

mais ce produit ne converge que si la série Σ 1/|zn| est convergente. Dans le cas général, il faut « corriger » le facteur (1 − z/zn) par un facteur exponentiel. On est ainsi conduit à introduire les fonctions suivantes, dites facteurs primaires :

Il est alors possible de trouver une suite (pn) d'entiers positifs tels que le produit infini :

soit normalement convergent sur tout compact de C, ce qui fournit une fonction qui convient.

Inversement, soit f une fonction entière, (zn) la suite de ses zéros non nuls et k l'ordre de multiplicité de la racine 0. Alors, la fonction f/zkF est une fonction entière qui ne s'annule pas, donc de la forme eg, où g est entière.

Finalement, on a :[…]

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ANNEAUX & ALGÈBRES

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ASYMPTOTIQUES CALCULS

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BOREL ÉMILE (1871-1956)

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HAAR ALFRÉD (1885-1933)

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HADAMARD JACQUES (1865-1963)

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HILBERT DAVID (1862-1943)

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Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23"  : …  a connu un tel succès qu'il est à peine nécessaire de la mentionner : Choisir pour classe celle des*fonctions analytiques. Par contre, la seconde proposition mérite un instant de réflexion : Hilbert suggère qu'on s'intéresse à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions d'équations différentielles (ou aux… Lire la suite
LANDAU EDMUND (1877-1938)

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… *Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen et participa, aux côtés de Christian F. Klein et de… Lire la suite
LERAY JEAN (1906-1998)

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MITTAG-LEFFLER GÖSTA (1846-1927)

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MONTEL PAUL (1876-1975)

Écrit par :  Pierre LELONG

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NORMÉES ALGÈBRES

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POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  apporta également des contributions d'importance fondamentale et pionnières à la théorie des *fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, qui existait à peine avant lui. Il montra en 1883, en utilisant le principe de Dirichlet (cf. infra, Physique mathématique et physique théorique) pour la fonction ln |F… Lire la suite
PÓLYA GEORGE (1887-1985)

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

…  fonctions caractéristiques au sens des probabilités. Parmi les nombreux théorèmes de Pólya sur les *fonctions analytiques, voici une perle (1927) : Si (ln), est une suite positive de densité nulle (n/ln X 0) et si f(s) est, au voisinage d'un point, approchable par des combinaisons linéaires des… Lire la suite

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Connexité Primitive Théorème de Cauchy Symétrie : principe Indice d'un point par rapport à un lacet Série de Laurent Calcul à partir de la formule des résidus Logarithme complexe Surface de Riemann

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