8. Théorèmes d'approximation
Le théorème de Runge affirme que, si U est un ouvert du plan complexe et A un ensemble ayant un point dans chaque composante connexe du complémentaire de U, alors toute fonction f analytique dans U est limite uniforme sur tout compact dans U d'une suite de fractions rationnelles dont les pôles appartiennent à A. Dans le cas particulier où U est borné et « sans trous », ce qui veut dire que C − U est connexe, alors f est limite uniforme sur tout compact d'une suite de polynômes.
Le théorème de S. N. Mergelyan est un résultat difficile, publié en 1954 ; il affirme que, si K est un compact du plan complexe, de complémentaire connexe, toute fonction continue sur K, holomorphe dans l'intérieur de K, est limite uniforme sur K de polynômes.
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