7. Prolongement analytique
On se propose d'étudier ici la possibilité de prolonger une fonction f analytique dans un ouvert U à un ouvert plus grand. Pour tout point a ∈ U, la série de Taylor de f en a converge dans le plus grand disque ouvert D contenu dans U (cf. chap. 2) ; mais, comme on l'a déjà signalé ci-dessus, il se peut fort bien que le disque de convergence Δ de cette série « déborde » de U. La somme de la série dans Δ est alors une fonction analytique dans Δ qui, d'après le principe du prolongement analytique (cf. chap. 1), coïncide avec f dans la composante connexe de U ∩ Δ qui contient D. Cependant, si U ∩ Δ n'est pas connexe, on ne peut pas affirmer en général que f se prolonge en une fonction analytique dans U ∪ Δ. Prenons pour exemple, pour U, le plan complexe privé des nombres réels négatifs ou nul U = C − R- et, pour f, la détermination principale du logarithme (cf. chap. 4). Pour z0 = x0 + iy0, x0 < 0, y0 > 0, le disque de convergence de la série de Taylor de ln z en z0 est le disque de centre z0 qui passe par O, car la dérivée 1/z de ln z est analytique dans C* = C − {O}. Ici Δ ∩ U a deux composantes connexes et la somme de la série de Taylor en z0 n'est pas égale à f (z) pour z ∈ Δ ∩ U, Im z < 0, car Im (ln z) = Arg z subit une discontinuité en « traversant » R- ∩ Δ, ce qui exclut la possibilité de prolonger f à U ∪ Δ. L'examen de ces phénomènes a priori surprenants conduit à des extensions de la notion de fonction analytique et aux surfaces de Riemann. Pour éviter des difficultés du type précédent, nous raisonnerons ici sur des disques, car l'intersection de deux disques est toujours connexe.
• Points singuliers et points réguliers
Soit f une fonctio […]
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