6. Points singuliers isolés et résidus
On se propose ici, dans une première approche vers les points singuliers, d'étudier le comportement d'une fonction analytique dans un disque pointé 0 < |z − a| < r, c'est-à-dire dans un disque ouvert privé de son centre ; si f ne se prolonge pas en une fonction analytique dans le disque entier, on dira que a est un point singulier (isolé) pour f.
• La série de Laurent
Un disque pointé 0<|z − a|<r est un cas particulier d'une couronne ouverte r1<|z − a|<r2 ; on va obtenir pour une fonction analytique dans une telle couronne S un développement en série généralisant le développement en série entière de centre a, valable seulement pour les fonctions analytiques dans tout un disque de centre a.
Il nous faut d'abord étendre la formule de Cauchy qui n'est pas applicable directement, puisque S n'est pas simplement connexe. Soit r et r′ tels que r1 < r < r′ < r2 et soit γ et γ′ les cercles de centre a et de rayons r et r′ parcourus une fois dans le sens direct. On voit comme ci-dessus que, pour r < |z − a| < r′, la fonction g définie par :
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