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FONCTIONS ANALYTIQUES Fonctions d'une variable complexe

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5.  La formule intégrale de Cauchy

Cette formule donne les valeurs d'une fonction analytique, sous forme d'une intégrale curviligne ; en particulier, elle traduit le fait que les valeurs d'une fonction analytique à l'« intérieur » d'une courbe sont déterminées par les valeurs prises sur la courbe. Nous aurons tout d'abord besoin de préciser une notion de caractère géométrique, le « nombre de fois » où une courbe fermée « tourne » autour d'un point.

•  L'indice

Soit γ : I = [a, b] → C un lacet et soit Ω le complémentaire de la trajectoire γ(I) de γ. Pour tout z ∈ Ω, on appelle indice du point z par rapport au lacet γ le nombre :

montrons que j(z ; γ) est toujours un entier relatif. Pour z ∈ Ω fixé, posons :
de telle sorte que j(z ; γ) = h(b)/2 iπ, par définition de l'intégrale curviligne le long de γ. Puisque ew = 1 si et seulement si w/2 iπ est un entier (cf. exponentielle et logarithme, chap. 4), il suffit d'établir que e-h(b) = 1.

Posons :

puisque :
sauf en un nombre fini de points, on a :
ce qui montre que la fonction continue g est constante, sur [a, b]. En particulier […]

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« FONCTIONS ANALYTIQUES » est également traité dans :

FONCTIONS ANALYTIQUES

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante : Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xviie siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc.) par des… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Représentation conforme

Écrit par :  Christian HOUZEL

La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvie siècle).… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions elliptiques et modulaire

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Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions de plusieurs variables complexes

Écrit par :  André MARTINEAU, Henri SKODA

La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, pendant très longtemps on ne… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES (A.-L. Cauchy)

Écrit par :  Bernard PIRE

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire de l'analyse mathématique. Dans un court… Lire la suite
ANALYSE MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean DIEUDONNÉ

Dans le chapitre "La théorie des fonctions analytiques"  : …  pour x = 0, en prenant x0 = 0). Il y a donc lieu de faire l'étude des *fonctions, dites analytiques, qui, au voisinage de chaque point x0 où elles sont définies, sont égales à leur série de Taylor en ce point. On savait depuis longtemps que les fonctions rationnelles, ou la fonction e… Lire la suite
ANNEAUX & ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Anneaux et algèbres de fonctions"  : …  Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une *fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et g coïncident sur un voisinage ouvert W de O contenu dans U ∩ V ;… Lire la suite
ASYMPTOTIQUES CALCULS

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "La méthode du col"  : …  . Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les *fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont des cols ; on dira donc qu'un point z0 du plan complexe tel que … Lire la suite
BOREL ÉMILE (1871-1956)

Écrit par :  Maurice FRÉCHET

Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  Sommation des séries divergentes.* L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important… Lire la suite
DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Théorie linéaire

Écrit par :  Martin ZERNER

Dans le chapitre "Le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa"  : …  données. Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme : où Φ est une *fonction analytique de t, x, u et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par… Lire la suite
DISSERTATIONS (B. Riemann)

Écrit par :  Bernard PIRE

  *La dissertation inaugurale et la dissertation pour l'habilitation, soutenues en décembre 1851 et en juin 1854 à l'université de Göttingen, sont l'occasion pour Bernhard Riemann (1826-1866) de décrire un nombre impressionnant de résultats nouveaux. Élève et disciple de Carl Friedrich Gauss, Riemann s'inspire de la physique… Lire la suite
DISTRIBUTIONS, mathématiques

Écrit par :  Paul KRÉE

Dans le chapitre "Une application"  : …  Les distributions peuvent servir à étudier le comportement des *fonctions analytiques ; voici un exemple simple d'une telle situation. À une distribution T sur le tore, associons le couple T = (T+, T-) des deux fonctions holomorphes ainsi définies : Soit maintenant P(θ) un polynôme trigonométrique, c'est-à-dire une combinaison… Lire la suite
FONCTIONS REPRÉSENTATION & APPROXIMATION DES

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Représentations par des séries"  : …  différentiel sur le développement en série de Taylor. Ce phénomène est à l'origine du concept de *fonction analytique réelle : ce sont les fonctions de classe C∞ dans un intervalle ouvert I de R développables en série de Taylor au voisinage de chaque point a de I. Ces fonctions peuvent être caractérisées parmi les fonctions C∞… Lire la suite
HAAR ALFRÉD (1885-1933)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg devint roumain (Cluj Napoca), Haar et Riesz partirent… Lire la suite
HADAMARD JACQUES (1865-1963)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Fonctions analytiques"  : …  Les *premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière : à partir des propriétés de la suite (an) des coefficients de Taylor. Introduisant la notion de limite supérieure d'une suite qui se révèle… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par :  Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23"  : …  a connu un tel succès qu'il est à peine nécessaire de la mentionner : Choisir pour classe celle des*fonctions analytiques. Par contre, la seconde proposition mérite un instant de réflexion : Hilbert suggère qu'on s'intéresse à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions d'équations différentielles (ou aux… Lire la suite
LANDAU EDMUND (1877-1938)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen et participa, aux côtés de Christian F. Klein et de… Lire la suite
LERAY JEAN (1906-1998)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale… Lire la suite
MITTAG-LEFFLER GÖSTA (1846-1927)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien suédois, né à Stockholm, dont les travaux portent principalement sur la théorie des équations linéaires homogènes et sur la théorie des fonctions analytiques. On lui doit notamment le célèbre théorème (qui porte son nom) sur la représentation des fonctions méromorphes par des séries de fractions rationnelles. À la fois savant et… Lire la suite
MONTEL PAUL (1876-1975)

Écrit par :  Pierre LELONG

…  mathématique ». Paul Montel a eu le mérite et la chance d'appliquer la notion à l'étude des *fonctions analytiques d'une variable complexe. Dans ce cas, les fonctions bornées en module forment des familles également continues. De là est née la notion de « famille normale ». En dehors des ensembles bornés de nombres et de l'application du… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par :  Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Analyse p-adique"  : …  On peut développer une théorie des *fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe). Par exemple, la série exponentielle : converge dans le « disque ouvert » de… Lire la suite
NORMÉES ALGÈBRES

Écrit par :  Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR

Dans le chapitre "Le calcul fonctionnel holomorphe"  : …  A une algèbre normée commutative unitaire semi-simple, a un élément de A et f une *fonction analytique définie sur un voisinage du spectre de a. Il existe un élément b de A, et un seul, tel que ∧b = f ∘ ∧a. Si, en particulier, f est un polynôme : b est alors l'élément : Si 0 n'… Lire la suite
POINCARÉ HENRI (1854-1912)

Écrit par :  Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY

Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  apporta également des contributions d'importance fondamentale et pionnières à la théorie des *fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, qui existait à peine avant lui. Il montra en 1883, en utilisant le principe de Dirichlet (cf. infra, Physique mathématique et physique théorique) pour la fonction ln |F… Lire la suite
PÓLYA GEORGE (1887-1985)

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

…  fonctions caractéristiques au sens des probabilités. Parmi les nombreux théorèmes de Pólya sur les *fonctions analytiques, voici une perle (1927) : Si (ln), est une suite positive de densité nulle (n/ln X 0) et si f(s) est, au voisinage d'un point, approchable par des combinaisons linéaires des… Lire la suite

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Connexité Primitive Théorème de Cauchy Symétrie : principe Indice d'un point par rapport à un lacet Série de Laurent Calcul à partir de la formule des résidus Logarithme complexe Surface de Riemann

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