4. Le problème des primitives
Nous avons obtenu maintenant à peu près tous les résultats qu'il est possible de démontrer localement, c'est-à-dire à partir de l'étude des séries entières ; pour continuer la théorie, nous avons besoin d'un remarquable outil introduit par Cauchy, l'intégrale curviligne le long d'une courbe.
• L'intégrale curviligne
On va tout d'abord préciser la terminologie et les conditions de régularité auxquelles seront soumises les « courbes » du plan qui interviennent dans la suite.
On appelle chemin dans le plan complexe toute application continue γ : I → C d'un intervalle I = [a, b] dans le plan complexe qui est continûment dérivable par morceaux ; cela signifie que I est une réunion d'un nombre fini d'intervalles fermés dans lesquels γ est continûment dérivable, ou encore que γ est la primitive d'une fonction continue par morceaux dans I. Le point γ(a) s'appelle l'origine du chemin γ et le point γ(b) est son extrémité ; un chemin fermé, c'est-à-dire tel que γ(a) = γ(b) sera appelé un lacet. Enfin, on appelle trajectoire le sous-ensemble γ(I) du plan complexe parcouru par γ(t) pour t ∈ I ; si γ est un chemin, on le représentera géométriquement en dessinant sa trajectoire et en indiquant par des flèches le « sens de parcours » du point γ(t) lorsque t croît de a à b. L'exemple le plus simple d'une telle situation est celui d'une fonction affine par morceaux : la trajectoire est alors une ligne brisée (cf. chap. 1). Soit maintenant n un entier relatif non nul, z0 un nombre complexe et r un nombre réel positif ; pour t ∈ [0, 2π], l'application :
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 19 pages…
