La formule (10) qui donne une expression intégrale des coefficients du développement en série entière va nous donner de précieux renseignements.
Considérons tout d'abord le terme constant de la formule de Taylor. On a, pour n = 0 dans (10) :
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Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
Depuis l'Antiquité, on connaît en substance la série géométrique suivante : Une des grandes découvertes qui jalonnèrent la formation du calcul infinitésimal au milieu du xviie siècle fut la possibilité de représenter les fonctions « usuelles » (logarithme, exponentielle, fonctions trigonométriques, etc.) par des… Lire la suiteÉcrit par : Christian HOUZEL
La représentation conforme la plus anciennement connue est la projection stéréographique, inventée par les Grecs (Hipparque, Ptolémée). Les problèmes cartographiques conduisirent à la découverte d'autres applications conservant les angles d'un domaine sphérique sur un domaine plan, telle la projection de Mercator (xvie siècle).… Lire la suiteÉcrit par : Michel HERVÉ
Inaugurée par N. H. Abel et C. Jacobi, la théorie des fonctions elliptiques a été un sujet de prédilection pour les analystes pendant tout le xixe siècle. Appliquées par B. Riemann et K. Weierstrass à l'étude des courbes algébriques dans le plan projectif complexe, ces fonctions sont à la base de la théorie plus générale des… Lire la suiteÉcrit par : André MARTINEAU, Henri SKODA
La notion de fonction holomorphe de plusieurs variables complexes est aussi ancienne que l'analyse complexe. Les problèmes les plus simples, qui font intervenir des relations algébriques ou analytiques ou des équations différentielles, introduisent nécessairement ces fonctions. Mais, à part quelques faits élémentaires, pendant très longtemps on ne… Lire la suiteÉcrit par : Bernard PIRE
Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) a écrit 789 notes qui furent publiées pour la plupart aux Comptes rendus de l'Académie des sciences. Parmi les nombreux résultats importants qu’il a démontrés, ceux qui concernent les fonctions d'une variable complexe ont marqué un tournant décisif dans l'histoire de l'analyse mathématique. Dans un court… Lire la suiteÉcrit par : Jean DIEUDONNÉ
Dans le chapitre "La théorie des fonctions analytiques" : … pour x = 0, en prenant xÉcrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Anneaux et algèbres de fonctions" : … Considérons les couples (U, f ) d'un voisinage ouvert de O dans le plan complexe et d'une *fonction f définie et analytique dans U. Nous dirons que deux tels couples (U, f ) et (V, g) définissent le même germe à l'origine si f et g coïncident sur un voisinage ouvert W de O contenu dans U ∩ V ;… Lire la suiteÉcrit par : Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "La méthode du col" : … . Cette surface ne présente pas de « sommet » relatif, d'après le principe du maximum pour les *fonctions analytiques, et, par suite, les seuls points où le plan tangent est horizontal (ce sont les points où la dérivée h′(z) s'annule), sont des cols ; on dira donc qu'un point zÉcrit par : Maurice FRÉCHET
Dans le chapitre "L'œuvre scientifique" : … Sommation des séries divergentes.* L'intervention fréquente des séries divergentes dans la théorie des fonctions analytiques, par exemple, conduisit Borel à rendre ces séries « convergentes » en un sens plus général ; dans son ouvrage Leçons sur les séries divergentes, il étudie divers procédés de sommabilité, dont le plus important… Lire la suiteÉcrit par : Martin ZERNER
Dans le chapitre "Le théorème de Cauchy-Kovalevskaïa" : … données. Ce théorème s'applique aussi aux systèmes, pourvu qu'ils soient de la forme : où Φ est une *fonction analytique de t, x, u et ses dérivées d'ordre total m au plus mais strictement plus petit que m en t. Il reste un des rares résultats très généraux de la théorie. Il a été publié par… Lire la suiteÉcrit par : Bernard PIRE
Écrit par : Paul KRÉE
Dans le chapitre "Une application" : … Les distributions peuvent servir à étudier le comportement des *fonctions analytiques ; voici un exemple simple d'une telle situation. À une distribution T sur le tore, associons le couple T = (T+, T-) des deux fonctions holomorphes ainsi définies : Soit maintenant P(θ) un polynôme trigonométrique, c'est-à-dire une combinaison… Lire la suiteÉcrit par : Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Représentations par des séries" : … différentiel sur le développement en série de Taylor. Ce phénomène est à l'origine du concept de *fonction analytique réelle : ce sont les fonctions de classe C∞ dans un intervalle ouvert I de R développables en série de Taylor au voisinage de chaque point a de I. Ces fonctions peuvent être caractérisées parmi les fonctions C∞… Lire la suiteÉcrit par : Jeanne PEIFFER
… *Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg devint roumain (Cluj Napoca), Haar et Riesz partirent… Lire la suiteÉcrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Fonctions analytiques" : … Les *premiers travaux d'Hadamard, à la faculté des sciences de Bordeaux, décrivent et classent les singularités du prolongement analytique de la somme d'une série entière : à partir des propriétés de la suite (aÉcrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
Dans le chapitre "Équations aux dérivées partielles : problèmes 19, 20 et 23" : … a connu un tel succès qu'il est à peine nécessaire de la mentionner : Choisir pour classe celle des*fonctions analytiques. Par contre, la seconde proposition mérite un instant de réflexion : Hilbert suggère qu'on s'intéresse à la classe des fonctions « différentiellement algébriques », c'est-à-dire solutions d'équations différentielles (ou aux… Lire la suiteÉcrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen et participa, aux côtés de Christian F. Klein et de… Lire la suiteÉcrit par : Jean-Luc VERLEY
… *Mathématicien français dont les travaux sont centrés sur les équations aux dérivées partielles ; c'est à propos de problèmes posés par cette théorie qu'il a forgé de nouveaux outils mathématiques qui sont devenus fondamentaux, en analyse et en topologie algébrique notamment. Né à Chantenay, près de Nantes, Jean Leray a été élève de l'École normale… Lire la suiteÉcrit par : Jean-Luc VERLEY
… *Mathématicien suédois, né à Stockholm, dont les travaux portent principalement sur la théorie des équations linéaires homogènes et sur la théorie des fonctions analytiques. On lui doit notamment le célèbre théorème (qui porte son nom) sur la représentation des fonctions méromorphes par des séries de fractions rationnelles. À la fois savant et… Lire la suiteÉcrit par : Pierre LELONG
… mathématique ». Paul Montel a eu le mérite et la chance d'appliquer la notion à l'étude des *fonctions analytiques d'une variable complexe. Dans ce cas, les fonctions bornées en module forment des familles également continues. De là est née la notion de « famille normale ». En dehors des ensembles bornés de nombres et de l'application du… Lire la suiteÉcrit par : Christian HOUZEL
Dans le chapitre "Analyse p-adique" : … On peut développer une théorie des *fonctions analytiques de variables p-adiques en définissant de telles fonctions par des développements en séries entières convergentes (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe). Par exemple, la série exponentielle : converge dans le « disque ouvert » de… Lire la suiteÉcrit par : Jean-Luc SAUVAGEOT, René SPECTOR
Dans le chapitre "Le calcul fonctionnel holomorphe" : … A une algèbre normée commutative unitaire semi-simple, a un élément de A et f une *fonction analytique définie sur un voisinage du spectre de a. Il existe un élément b de A, et un seul, tel que ∧b = f ∘ ∧a. Si, en particulier, f est un polynôme : b est alors l'élément : Si 0 n'… Lire la suiteÉcrit par : Gérard BESSON, Christian HOUZEL, Michel PATY
Dans le chapitre "L'œuvre scientifique" : … apporta également des contributions d'importance fondamentale et pionnières à la théorie des *fonctions analytiques de plusieurs variables complexes, qui existait à peine avant lui. Il montra en 1883, en utilisant le principe de Dirichlet (cf. infra, Physique mathématique et physique théorique) pour la fonction ln |F… Lire la suiteÉcrit par : Jean-Pierre KAHANE
… fonctions caractéristiques au sens des probabilités. Parmi les nombreux théorèmes de Pólya sur les *fonctions analytiques, voici une perle (1927) : Si (ln), est une suite positive de densité nulle (n/ln X 0) et si f(s) est, au voisinage d'un point, approchable par des combinaisons linéaires des… Lire la suiteAfficher la liste complète (24 références)
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