1. Séries entières
La définition et l'étude des fonctions analytiques reposent sur la notion de série entière, c'est-à-dire de série de la forme :
On dit que la série (1) converge normalement dans un ensemble K ⊂ C si la série des modules de ses termes est uniformément convergente pour z ∈ K. Rappelons qu'il suffit pour cela qu'il existe une série numérique convergente de terme général αn telle que |an(z − a)n| ≤ αn pour tout n ∈ N et z ∈ K.
On désigne, dans ce qui suit, par D (a, r) et D− (a, r) les disques ouvert et fermé de centre a et de rayon r, c'est-à-dire les ensembles de nombres complexes z tels que |z − a| < r et |z − a| ≤ r respectivement.
• Convergence
Étudions l'ensemble des nombres complexes z pour lesquels la série (1) est convergente. Posant Z = z − a pour simplifier, on se ramène, par une translation, à une série entière :
Théorème 1. Soit R (éventuellement égal à 0 ou à + ∞) défini par la formule d'Hadamard :
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