On se propose, dans ce premier article, d'exposer, avec des démonstrations quasiment complètes, les résultats les plus élémentaires de la théorie des fonctions analytiques d'une variable complexe ; les deux derniers chapitres sont consacrés à quelques résultats sans démonstration. Historiquement, l'extension au cas complexe de nombreuses fonctions classiques a été réalisée par l'intermédiaire des développements en série ; les séries entières restent à la base de l'étude locale des fonctions analytiques. Avec l'introduction de l'intégrale curviligne, on peut aborder des problèmes globaux, comme la recherche des primitives, qui font apparaître des conditions de nature « géométrique » ou, plutôt, topologique, imposées aux ouverts du plan complexe ; les représentations intégrales de Cauchy sont à la base du calcul des résidus, qui a d'innombrables applications pratiques.
On a passé sous silence les résultats relatifs aux fonctions harmoniques de deux variables, qui ne sont autres que les parties réelles de fonctions analytiques, en renvoyant à l'article théorie du potentiel.
La définition et l'étude des foncti […]
Autres références
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Bibliographie
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J. Dieudonné, Calcul infinitésimal, ibid., 2e éd. 1980
P. Dolbeault, Analyse complexe, Masson, 1990
M. Hervé, Les Fonctions analytiques, P.U.F., Paris, 1982
E. Hille, Analytic Function Theory, vol. I, Ginn and Co., Boston, 1959
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S. Lang, Complexe Analysis, Springer-Verlag, 2e éd. 1985
R. Narasimhan, Complex Analysis in One Variable, Birkhaüser, Boston, 1985
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