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ZÊTA FONCTION

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3. Fonctions zêta et fonctions L sur une variété algébrique définie sur un corps fini

Depuis les travaux de E. Artin, on sait que tous les résultats de la théorie des nombres algébriques se transportent (avec des expressions plus simples, dues à l'absence des « places infinies ») aux « corps de fonctions algébriques d'une variable sur un corps fini F_q », c'est-à-dire les extensions algébriques finies du corps des fractions rationnelles F_q(X). E. Artin lui-même avait noté, sur le cas particulier des extensions quadratiques de F_q(X), que la définition de Dedekind de la fonction zêta se généralise à un tel corps k en prenant pour p toutes les places de k et pour Np le nombre d'éléments du corps résiduel de la place p. La théorie de Tate s'étend également sans difficulté.

Mais on peut considérer k comme le corps des fonctions rationnelles sur une courbe algébrique irréductible définie sur F_q ; ce point de vue amène à une nouvelle généralisation, en remplaçant la courbe par une variété algébrique X de dimension quelconque définie sur F_q. Pour simplifier, on supposera qu'il s'agit d'une variété affine, ensemble des points x = (x₁, ..., x_m) d'un espace F_q^m, où F_q est la clôture algébrique de F_q, vérifiant un nombre fini d'équations Pα(x₁, ..., x_m) = 0, où les Pα sont des polynômes à coefficients dans F_q. Soit a l'idéal de l'anneau de polynômes F_q[T₁, ..., T_m] engendré par les Pα. Tout point x ∈ X définit un homomorphisme F_q[T₁, ..., T_m] → […]

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ARTIN EMIL (1898-1962): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Corps de nombres algébriques et théorie du corps de classe" : … corps de nombres algébriques K, on peut considérer une fonction ζk(s), appelée* la fonction zêta de Dedekind, qui généralise la fonction zêta de Riemann (obtenue lorsque K est le corps des nombres rationnels). Généralisant un résultat de Takagi, Artin a montré, en 1923, que, si K est une extension normale d'un corps k… Lire la suite
BOHR HARALD (1887-1951): Écrit par : Jacques MEYER
… *Né à Copenhague, frère du physicien Niels Bohr, Harald Bohr devint professeur à l'institut polytechnique de Copenhague, en 1915, puis à l'Université de cette ville, en 1930. Ses premiers travaux portent sur les séries de Dirichlet. En liaison avec E. Landau, il étudie la fonction zêta dans sa partie critique et ses applications en théorie… Lire la suite
GAMMA FONCTION: Écrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Interprétation par la théorie des groupes" : … de Mellin d'une série entière : La fonction gamma permet ainsi de ramener certains problèmes d'arithmétique multiplicative à des problèmes additifs. En particulier, la célèbre *fonction zêta, intervenant dans la théorie des nombres premiers, peut s'écrire sous la forme : qui est à la base de la théorie de Riemann (cf. fonction zêta… Lire la suite
HADAMARD JACQUES (1865-1963): Écrit par : Jean-Luc VERLEY
Dans le chapitre "Fonctions analytiques" : … Hadamard aux grands problèmes de la théorie des nombres. Dans un mémoire de 1896, il montre que la* fonction zêta n'a pas de zéros sur la droite Re z = 1. Ce résultat lui permet d'obtenir la première démonstration complète du fameux théorème, conjecturé par Legendre, sur la distribution des nombres premiers : désignant par π (x)… Lire la suite
HARDY GODFREY HAROLD (1877-1947): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien anglais, né à Granleigh, dans le Surrey, et mort à Cambridge. Godfrey Harold Hardy fit ses études au Trinity College de Cambridge, où il enseigna de 1906 à 1919. En 1908, il découvre, en même temps que le physicien W. Weinberg, mais indépendamment de lui, la loi de Hardy-Weinberg, qui décrit l'équilibre génétique au sein d'une… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943): Écrit par : Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL
Dans le chapitre "Les nombres premiers (problèmes 8 et 9)" : … doute l'une des plus célèbres conjectures mathématiques que celle de Riemann sur les zéros de la *fonction ζ. Rappelons qu'on a par définition : qui définit une fonction méromorphe dans le plan complexe, avec des zéros simples, dits « triviaux » aux points — 2, — 3, ... Riemann a émis l'hypothèse que tous les autres zéros avaient une partie… Lire la suite
INTRODUCTIO IN ANALYSIN INFINITORUM (L. Euler): Écrit par : Bernard PIRE
*C'est à l'Académie des sciences de Berlin que Leonhard Euler (1707-1783) publie en 1748 le premier des trois grands traités didactiques où il expose sa conception du calcul différentiel et intégral. L'Introductio in analysin infinitorum met au premier plan le concept de fonction défini comme « une expression… Lire la suite
LANDAU EDMUND (1877-1938): Écrit par : Jacques MEYER
… *Mathématicien allemand né et mort à Berlin. Edmund Landau fit ses études au lycée français de cette ville, puis à son université où il suivit les cours de Georg F. Frobenius. Docteur en mathématiques en 1899, il commença à enseigner deux ans plus tard. Il fut nommé en 1909 professeur à Göttingen et participa, aux côtés de Christian F. Klein et de… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Théorie analytique: Écrit par : Jean DIEUDONNÉ
Dans le chapitre "La théorie multiplicative" : … n = p^m est une telle puissance. À ces diverses fonctions multiplicatives correspondent des séries formelles de Dirichlet, en premier lieu la série *zêta : et on montre que les séries formelles de Dirichlet correspondant aux autres fonctions multiplicatives s'expriment à l'aide de la série zêta par… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres algébriques: Écrit par : Christian HOUZEL
Dans le chapitre "Unités" : … groupe des classes de diviseurs des entiers cyclotomiques ; il se sert d'une fonction analogue à la *fonction zêta (cf. fonction zêta) : (où A parcourt l'ensemble des diviseurs et P celui des diviseurs premiers) et de son comportement pour s → 1, et obtient h = h1h2, où le facteur… Lire la suite
PROBABILITÉS CALCUL DES: Écrit par : Daniel DUGUÉ
Dans le chapitre "Probabilités en arithmétique" : … établit de la même façon que la probabilité pour que k nombres choisis au hasard soient premiers entre eux est 1/ζ(k). Ce problème est donc étroitement lié à la *fonction ζ(s) de Riemann (cf. fonction zêta). On sait que : la probabilité pour que quatre nombres pris au hasard soient premiers entre eux est égale à… Lire la suite
RIEMANN BERNHARD (1826-1866): Écrit par : Michel HERVÉ
Dans le chapitre "Fonction ζ et répartition des nombres premiers" : … La partie, célèbre entre toutes, de l'œuvre de Riemann concernant la* fonction ζ tient en une dizaine de pages, adressées en 1859 à l'Académie de Berlin, qui venait de l'élire membre correspondant. La fonction ζ (cf. fonctionzêta) est définie d'abord, pour Re s > 1, comme somme de la série de Riemann : Euler avait… Lire la suite
SELBERG ATLE (1917-2007): Écrit par : Bernard PIRE
… ouvrage, Sur quelques identités arithmétiques, en 1935 alors qu'il est encore lycéen. *Ses travaux en théorie analytique des nombres ont établi des résultats fondamentaux sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, cette fonction analytique de la variable x définie comme la somme infinie des entiers élevés à la puissance … Lire la suite

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