FINITISME ET ULTRAFINITISME, mathématique

1.  Le finitisme de Hilbert et son élargissement par Gödel

Selon Hilbert, les paradoxes auxquels a donné lieu la théorie cantorienne des ensembles proviennent principalement du fait que l'on a utilisé inconsidérément dans le domaine des mathématiques „ abstraites“ ou „infinitaires“ des arguments et des modes d'inférence qui sont indiscutablement valides dans le domaine fini, mais dont l'extension ailleurs peut être génératrice de contradictions. Néanmoins, et à l'inverse, par exemple, de ce que proposent les „intuitionnistes“, Hilbert ne préconise pas de restreindre les mathématiques à leur partie constructive. Une fois formalisées, les mathématiques abstraites peuvent être considérées comme réduites à un ensemble de symboles dénués de sens, ensemble dont les éléments possèdent les mêmes propriétés de concrétude que les symboles sur lesquels porte l'arithmétique finitiste. En particulier, la question de savoir si une suite de symboles est bien une démonstration formalisée est tout à fait analogue à la question de savoir si un entier est premier. Ce sont des questions mécaniquement décidables, à propos desquelles les méthodes finitistes s'appliquent sans aucune espèce de doute. De même, l'énoncé qui affirme la cohérence d'une théorie formalisée est un énoncé finitiste : il affirme, de tout assemblage x qui est une démonstration dans cette théorie, qu'il ne se termine pas par la formule „0 = 1“. Autrement dit, le domaine finitiste contient, en principe, tous les concepts et les raisonnements qui peuvent être utilisés pour examiner les propriétés „syntaxiques“ des théories mathématiques, c'est-à-dire les propriétés qui ne dépendent que de la forme des symboles qui y figurent, par opposition aux propriétés, comme la „vérité“, qui dépendent de la référence associée à ces symboles. Avec le finitisme viennent, non seulement un fragment élémentaire de l'arithmétique, mais la totalité de la syntaxe et, plus généralement, tout le domaine de l'algorithmique et de la calculabilité.

Or […]