Accueil - Boutique - Contact - Assistance
Zone de recherche

Altas Auteurs Recherche thématique Dictionnaire
 

EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Page précédente Page suivante

5.  Développements eulériens des fonctions transcendantes élémentaires

Dans son Introductio in analysin infinitorum (1748), L. Euler définit l'exponentielle complexe par la formule :

par suite, il considère la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques qui s'en déduisent comme des « polynômes de degré infini ».

En particulier :

écrivant le polynôme du second membre comme un produit de facteurs du second degré et faisant tendre n vers l'infini, il obtient la relation :
qui est le développement de sin z en produit infini (produit eulérien).

Cette formule, valable pour tout z ∈ C, met en évidence les zéros de la fonction sinus, tout comme la décomposition d'un polynôme comme produit de facteurs du premier degré (théorème de d'Alembert-Gauss).

Par des procédés analogues, il obtient les développements :

valables pour z ≠ kπ, k ∈ Z.

Cette fois, les fonctions de gauche dans les formules apparaissent comme des « fractions rationnelles de degré infini » ; au second membre figure alors la somme des parties principales, en chacun de leurs pôles, de ces fonctions (généralisation de la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples).

La théorie des fonctions analytiques fournit un cadre théorique permettant de généraliser de telles formules (décompositions de Weierstrass et de Mittag-Leffler ; cf. fonctions analytiques - Fonctions d'une variable, chap. 8).

 […]

… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 9 pages…Offre essai 7 jours

Thématique

Classification thématique de cet article :

Retour en haut

Autres références

« EXPONENTIELLE & LOGARITHME » est également traité dans :

BRIGGS HENRY (1561-1630)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien anglais dont le nom est attaché à la découverte des logarithmes décimaux (appelés aussi logarithmes vulgaires ou briggsiens). Le caractère instrumental de ce nouvel outil mathématique lui valut une large et rapide diffusion auprès des utilisateurs confrontés à des calculs longs et compliqués. À partir de 1596, Briggs enseigna la… Lire la suite
CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

Écrit par :  René TATON

Dans le chapitre "Logarithmes et fonction logarithmique"  : …  joué un grand rôle dans l'évolution des techniques infinitésimales est celui de l'introduction des *logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l'étude des propriétés de celle-ci. Kepler, en 1604, à l'occasion de ses recherches optiques, et Neper, quelques années plus tard,… Lire la suite
CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)

Écrit par :  Universalis

… *Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X. Les œuvres d'Euclide éveillèrent son intérêt pour les… Lire la suite
EULER LEONHARD (1707-1783)

Écrit par :  Christian HOUZEL, Jean ITARD

Dans le chapitre "Mathématiques"  : …   vi à viii) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : la fonction *exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques, qui sont envisagées ainsi pour la première fois. L'exponentielle az (où a > 0 est une constante) est définie par interpolation pour z réel, entre… Lire la suite
FONCTIONS ANALYTIQUES - Fonctions d'une variable complexe

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Le logarithme complexe"  : …  ′/f est dérivable, donc analytique, dans U et, par suite, admet des primitives dans U. *Soit L l'une d'entre elles, telle que l'on ait : en un point a ∈ U ; c'est toujours possible, car f (a) ≠ 0 et tout nombre complexe non nul peut se mettre sous la forme eb, b ∈ C… Lire la suite
NEPER ou NAPIER JOHN (1550-1617)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Mathématicien écossais, John Neper, baron de Merchiston, passa la majeure partie de sa vie dans le manoir familial de Merchiston (près d'Édimbourg) où il naquit en 1550 et mourut le 4 avril 1617. Violemment anticatholique, il se consacra aux luttes politiques et religieuses de son temps. On lui doit notamment un pamphlet dans lequel il affirme que… Lire la suite
NOMBRES COMPLEXES

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Limites"  : …  n/n ! converge pour tout nombre complexe z et sa somme, la fonction *exponentielle complexe : est sans conteste une des fonctions les plus importantes des mathématiques. La règle de multiplication des séries permet d'établir la propriété fondamentale de la fonction exponentielle : si z et z′ sont… Lire la suite
NOMBRES (THÉORIE DES) - Nombres p-adiques

Écrit par :  Christian HOUZEL

Dans le chapitre "Analyse p-adique"  : …  (cf. fonctions analytiques - Fonctions analytiques d'une variable complexe). Par exemple, *la série exponentielle : converge dans le « disque ouvert » de Qp défini par l'inégalité : en effet : et le nombre d'entiers k ≤ n tels que vp(k) ≥ r est… Lire la suite
NUMÉRIQUE CALCUL

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT

Dans le chapitre "Les logarithmes"  : …  Napier (1550-1617) se propose de simplifier les calculs trigonométriques intervenant en astronomie ;* en 1614, il publie une table de logarithmes à sept décimales, sous le titre : Description des merveilleuses règles des logarithmes et de leur usage dans l'une et l'autre trigonométrie, aussi bien que dans tout calcul mathématique. Un second… Lire la suite
RÉELS NOMBRES

Écrit par :  Jean DHOMBRES

Dans le chapitre "La fonction logarithme"  : …  L'*influence fonctionnelle déterminante sur la manipulation « logistique » des raisons est l'invention des logarithmes, au début du xviie siècle. Car c'est l'aspect opératoire qui est ici à l'œuvre, à partir de l'identité an+m = an ( am… Lire la suite

Afficher la liste complète (10 références)

Retour en haut

Médias

Médias de cet article dans l'Encyclopædia Universalis :

Logarithme népérien Fonction y = Log x Fonction exponentielle Fonctions hyperboliques Fonctions puissances Fonctions trigonométrique Fonctions sinus et cosinus Fonction tangente et sa réciproque

Retour en haut

Voir aussi

Retour en haut

Accueil - Contact - À propos
Consulter les articles d'Encyclopædia Universalis : 0-9 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Consulter les articles d'Encyclopædia Britannica.
© 2012, Encyclopædia Universalis France S.A. Tous droits de propriété industrielle et intellectuelle réservés.

chargement du média