4. Extension du domaine complexe et trigonométrie
Nous commencerons par le cas de la fonction exponentielle, le plus simple car le développement en série entière (14) converge encore pour tout x complexe, et cela suggère d'étendre cette fonction au domaine complexe en la définissant, dans ce cas, comme somme de la série correspondante.
• L'exponentielle complexe
La série :
Puisque 1 = e0 = ez e−z pour tout z ∈ C, on a toujours ez ≠ 0 et, ainsi, la formule d'addition exprime que l'exponentielle complexe définit un homomorphisme du groupe additif C de tous les nombres complexes dans le groupe multiplicatif C* des nombres complexes non nuls.
En outre, pour tout a ∈ C, on a :
Enfin, par dérivation terme à terme de la série correspondante, on voit que, pour tout nombre complexe a, la fonction de variable réelle
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