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EXPONENTIELLE & LOGARITHME

Extension du domaine complexe et trigonométrie

Nous commencerons par le cas de la fonction exponentielle, le plus simple car le développement en série entière (14) converge encore pour tout x complexe, et cela suggère d'étendre cette fonction au domaine complexe en la définissant, dans ce cas, comme somme de la série correspondante.

L'exponentielle complexe

La série :

est absolument convergente pour tout nombre complexe z. Pour z réel, la somme est ez. Pour z ∈ C, nous noterons encore exp z ou ez la somme de cette série. D'après la règle de multiplication des séries absolument convergentes, on a, pour a, b ∈ C,
ainsi, on a l'importante formule d'addition :

Puisque 1 = e0 = ez e−z pour tout z ∈ C, on a toujours ez ≠ 0 et, ainsi, la formule d'addition exprime que l'exponentielle complexe définit un homomorphisme du groupe additif C de tous les nombres complexes dans le groupe multiplicatif C* des nombres complexes non nuls.

En outre, pour tout a ∈ C, on a :

Enfin, par dérivation terme à terme de la série correspondante, on voit que, pour tout nombre complexe a, la fonction de variable réelle

satisfait à la relation ϕa(t) = aϕa(t). Plus précisément ϕa est l'unique solution sur R du problème de Cauchy : y′ = ay, y(0) = 1.

Fonctions circulaires

Soit z = x + iy un nombre complexe, on a :

la fonction exponentielle e ↦ ex ayant été étudiée, nous allons examiner maintenant la fonction y ↦ eiy.

Pour t réel, on appelle respectivement cosinus et sinus de t les parties réelle et imaginaire de eit, soit, par définition,

il en résulte immédiatement les « formules d' Euler » :

Fonctions trigonométrique - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonctions trigonométrique

Encyclopædia Universalis France

D'après ce qui précède, l'application ϕ : t ↦ exp it est un homomorphisme du groupe additif R dans le groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1 et ϕ′(t) = iϕ(t). L'étude de ce morphisme constitue ce qu'on appelle traditionnellement la trigonométrie.

La relation |eit| = 1 signifie que :

qui est la relation fondamentale de la trigonométrie.

Par ailleurs, la propriété fonctionnelle :

donne, en séparant parties réelle et imaginaire, les formules d'addition de la trigonométrie :

Remplaçant eit et e−it dans les formules d'Euler par leurs développements en série déduits de (22), on obtient les développements en séries entières, valables pour tout nombre réel t, des fonctions trigonométriques :

ainsi les fonctions sinus et cosinus sont indéfiniment dérivables. Par dérivation des formules d'Euler, ou des développements en série qui précèdent, on a :

Le nombre π

Pour t = 2, on a :

puisque la fonction cosinus est continue et égale à 1 pour t = 0, il existe un plus petit nombre réel τ > 0 tel que cos τ = 0. Nous désignerons par la lettre grecque π, notation traditionnelle depuis Euler, le nombre π = 2 τ. Ce nombre π, dont la transcendance a été établie par F.  Lindemann en 1882, est égal à la moitié de la longueur du cercle de rayon 1. Une valeur approchée à 10−20 près (cf. algorithmique, calcul numérique) est :

Ainsi, par définition de π, on a cos t > 0 dans l'intervalle ]0, π/2[, ce qui entraîne, d'après (30), que la fonction sinus est strictement croissante dans l'intervalle [0, π/2]. Puisque sin 0 = 0, cette fonction est donc strictement positive dans l'intervalle ]0, π/2], ce qui entraîne toujours d'après (30), que le cosinus est strictement décroissant dans cet intervalle. On peut alors constituer, entre 0 et π/2, le tableau de variation des fonctions circulaires.

Pour t = π/2, la relation (27) entraîne que le sinus est, en valeur absolue, égal à 1 ; par suite puisque ce nombre est positif sin π/2 = 1. Ainsi :

d'où, en utilisant la formule d'addition,

Pour tout nombre complexe z, on a donc :[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Logarithme népérien - crédits : Encyclopædia Universalis France

Logarithme népérien

Encyclopædia Universalis France

Fonction y = Log x - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction y = Log x

Encyclopædia Universalis France

Fonction exponentielle - crédits : Encyclopædia Universalis France

Fonction exponentielle

Encyclopædia Universalis France

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Autres références

  • BRIGGS HENRY (1561-1630)

    • Écrit par Bernard PIRE
    • 745 mots

    Henry Briggs est un mathématicien anglais dont le nom est attaché à la découverte des logarithmes décimaux (appelés aussi logarithmes vulgaires ou briggsiens). La publication de son livre Arithmeticalogarithmica (1624) eut une influence considérable sur l’utilisation de ces logarithmes dans...

  • CALCUL INFINITÉSIMAL - Histoire

    • Écrit par René TATON
    • 11 465 mots
    • 3 médias
    Un autre problème qui a joué un grand rôle dans l'évolution des techniques infinitésimales est celui de l'introduction des logarithmes, du passage progressif de la table créée par Neper, en 1614, à la notion de fonction logarithmique et à l'étude des propriétés de celle-ci.

  • CAVALIERI FRANCESCO BONAVENTURA (1598-1647)

    • Écrit par Universalis
    • 358 mots

    Mathématicien dont les recherches en géométrie préfigurent le calcul intégral. Dans sa jeunesse, Cavalieri rejoignit les jésuates (souvent appelés clercs religieux de saint Jérôme), un ordre religieux qui suivait la règle de saint Augustin et qui fut supprimé en 1668 par le pape Clément X. Les...

  • EULER LEONHARD (1707-1783)

    • Écrit par Christian HOUZEL, Jean ITARD
    • 2 759 mots
    • 1 média
    ...tributaire de la géométrie. Euler donne dans l'Introductio( chap. vi à viii) un exposé des fonctions transcendantes élémentaires : la fonction exponentielle, le logarithme et les fonctions trigonométriques, qui sont envisagées ainsi pour la première fois. L'exponentielle az (où a ...
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Voir aussi

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