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EXPONENTIELLE & LOGARITHME

2.  Logarithmes

  Définition

Il n'existe pas de fonction rationnelle admettant pour dérivée 1/x ; pourtant, cette fonction est définie et continue pour x > 0, et, par suite (cf. calcul infinitésimal – Calcul à une variable, chap. 5), elle admet des primitives dans cet intervalle. Ces primitives constituent donc de « nouvelles » fonctions dont nous allons étudier les propriétés. Elles diffèrent toutes entre elles d'une constante, et il suffit d'en examiner une.

On appelle logarithme népérien ou naturel la primitive de 1/x dans ]0, ∞[ qui s'annule pour x = 1, soit :

ainsi, c'est une fonction dérivable, de dérivée 1/x. Géométriquement, si > 1, c'est la mesure de l'aire comprise entre l'hyperbole d'équation Y = 1/X et les deux droites X = 1 et X = x ; on a donc ln < 0 pour 0 < < 1 et ln x > 0 pour x > 1. On utilisera dans l'ouvrage la notation normalisée anglo-saxonne ln x.

Établissons dès maintenant la propriété fondamentale du logarithme népérien : c'est un homomorphisme (en fait, comme on le verra ci-dessous, un isomorphisme) du groupe multiplicatif R*+ dans le groupe additif R. Soit y un nombre réel positif ; la fonction (x) = ln xy a la même dérivée que la fonction ln x :

et, par suite, ces deux fonctions diffèrent d'une constante, soit :
faisant x = 1, on a k = ln y, d'où la relation fonctionnelle :

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Pour citer cet article

Jean-Luc VERLEY, « EXPONENTIELLE & LOGARITHME  », Encyclopædia Universalis [en ligne], consulté le  . URL : http://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/

Classification thématique de cet article :

 

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« EXPONENTIELLE & LOGARITHME » est également traité dans :

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