3. L'œuvre mathématique
En sa croissance ainsi aventureuse, la pensée de Galois s'est librement nourrie des travaux de Lagrange, Gauss, Cauchy, Abel et Jacobi. Dans un mémoire célèbre paru en 1770, Lagrange fait le point des recherches dans le domaine des équations algébriques. Il esquisse une théorie de la transformation des équations et met en évidence l'importance de la notion de permutation. Il retrouve par là les formules connues de résolution par radicaux des équations du deuxième au quatrième degré. Mais l'équation générale du cinquième degré lui résiste comme à ses prédécesseurs (c'est à Abel qu'il appartient, en 1824, de montrer qu'elle n'est pas résoluble par radicaux). En 1801, Gauss rédige une étude sur les équations binômes xn − a = 0 et les racines primitives de l'unité qui laisse pressentir l'utilisation par Galois de la théorie des groupes. Si on ajoute qu'en 1830 Cauchy vient de formuler la notion de groupe de permutations d'un ensemble fini, on conçoit où en étaient les problèmes étudiés par Galois au moment où il soumet son premier mémoire à l'Académie des sciences.
• Groupe de Galois
Galois reprend le problème où l'avait laissé Niels Abel, dont les mémoires ne lui sont que tardivement connus. Il éclaircit sa notion de quantité rationnelle par rapport à d'autres quantités, parvenant à une notion très proche de celle de corps engendré par un ensemble fini de nombres algébriques. Il démontre – ce qu'Abel avait affirmé – que le corps engendré par les racines d'une équation algébrique est une extension simple du corps des coefficients (ne considérant, bien sûr, que des corps de caractéristique 0).
Son idée profondément originale est alors de mettre en évidence le groupe des automorphismes de ce corps. Étant donné :
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