5. Intégration des fonctions à valeurs vectorielles. Mesures à valeurs vectorielles
L'intégration des fonctions à valeurs vectorielles et les mesures à valeurs vectorielles sont des outils intéressants qui permettent en particulier grâce à des théorèmes de représentation de mieux étudier certaines propriétés géométriques des espaces de Banach.
• Intégration des fonctions à valeurs vectorielles
(Ω, T, μ) est un espace mesuré par une mesure positive finie μ ; X est un espace de Banach et BX est la tribu borélienne de X (cf. intégration et mesure). Une application f de Ω dans X est dite fortement mesurable si c'est une application mesurable (c'est-à-dire si l'image réciproque par f de tout élément de BX est un élément de T) et s'il existe un sous-espace fermé séparable X0 de X et un élément Ω0 de T de mesure nulle tels que f (Ω − Ω0) ⊂ X0.
Une application f de Ω dans X est dite simple si elle est mesurable et si son image est un sous-ensemble fini de X.
Une fonction simple non nulle s'écrit alors de manière unique sous la forme :
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