4. Les propriétés d'approximation
On supposera désormais que K = R.
Une application linéaire d'un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F est dite de rang fini si son image est un sous-espace de dimension finie de F. X et Y étant deux espaces de Banach et f une application linéaire continue de rang fini de X dans Y, il est clair, d'après le théorème de Riesz (cf. chap. 1), que l'adhérence dans Y de l'image par f de la boule unité fermée de X est une partie compacte de Y, c'est-à-dire que f est un opérateur compact. Comme on sait d'autre part que dans Lc (X, Y) muni de la norme des applications linéaires continues une limite d'opérateurs compacts est un opérateur compact, la question qui se pose est de savoir si, pour des espaces de Banach X et Y arbitraires, tout opérateur compact de X dans Y est limite dans Lc (X, Y) muni de la norme indiquée d'une suite d'opérateurs de rang fini. Ce problème, dit problème de l'approximation, n'a été résolu par la négative qu'en 1973 par P. Enflo ; il a donné lieu à l'étude de divers énoncés équivalents et à la mise en place de quelques propriétés voisines extrêmement importantes (ces travaux sont essentiellement dus à A. Grothendieck). On dit que l'espace de Banach X possède la propriété d'approximation (la A.P.) si, pour tout compact Q de X et tout ε > 0, il existe une application linéaire continue T de rang fini telle que pour tout x de Q on ait ∥Tx − x∥ ≤ ε. λ étant un réel ≥ 1, si on impose à T la condition supplémentaire d'être de norme inférieure à λ, on dit alors que X a la λ-propriété d'approximation (λ-A.P.). Lorsqu'il existe un réel λ tel que l'espace de Banach X ait la λ-A.P., on dit que X a la propriété d'approximation bornée (B.A.P.). Enfin, si X a la 1-A.P., on dit qu'il a la propriété d'approximation métrique. On montre que l'espace de Banach X a la A.P. si et seulement si, pour tout espace de Banach Y, tout opérateur compact de X dans Y est limite dans Lc (X, Y) muni de sa norme usuelle d'une suite d'applications linéaires continues de rang fini.
On sait qu'il exis […]
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