Espace projectif. Étant donné un espace vectoriel E sur un corps commutatif K, on considère dans E′ = E — {0} la relation G entre deux éléments x et y définie par :
La relation G est une relation d'équivalence et l'ensemble quotient E′/G est appelé espace projectif déduit de E et est noté P(E). L'ensemble E est appelé espace vectoriel sous-jacent de P(E). Une classe d'équivalence, élément de P(E), est appelée point projectif ; on désigne par π l'application canonique qui à un élément de E′ associe sa classe dans P(E). Lorsque E = Kn+1, l'espace projectif déduit se note Pn(K). Si E est de dimension n + 1, la dimension de P(E) est, par définition, n. Il faut toutefois remarquer que P(E) n'est pas un espace vectoriel.
L'espace projectif réel ou complexe Pn(R) ou Pn(C) est une variété compacte non orientable. L'espace affine réel ou complexe de dimension n se plonge de manière naturelle dans cet espace projectif ; ce plongement correspond géométriquement à l'adjonction de « points à l'infini », réels ou imaginaires, à cet espace affine.
Variété linéaire projective. Soit F un sous-espace vectoriel de E, l'image par π de F′ = F — {0} est, par définition, une variété linéaire projective de P(E). On peut aisément montrer que l'intersection d'une famille quelconque de variétés linéaires projectives est une variété linéaire projective et que l'espace vectoriel sous-jacent de cette intersection est l'intersection des espaces vectoriels sous-jacents des variétés de la famille. Une variété projective déduite d'un hyperplan de E s'appelle un hyperplan projectif, et sa dimension (lorsque dim (E) = n + 1) est égale à n — 1 ; un espace projectif de dimension 1 (resp. 2) est appelé droite projective (resp. plan projectif). Soit X un sous-ensemble de P(E) ; on appelle variété linéaire engendrée par X l'intersection de toutes les variétés linéaires contenant X. Soit k + 1 points de P(E) ; on dit qu'ils forment une partie projectivement libre si la dimension de la variété engendrée par eux est égale à k ; ils sont projectivement liés si la dimension de la variété est inférieure à k. On peut montrer que k + 1 points π […]
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 1 page…
