3. Équation de Schrödinger
Alors que Louis de Broglie partait des principes de Fermat et de Maupertuis, Schrödinger se réfère directement à l'optique de Hamilton, susceptible d'une double interprétation en termes d'émission et d'ondulation, et utilise les formalismes de Hamilton-Jacobi concernant les équations aux dérivées partielles du système conservatif le plus général de la dynamique classique. Il introduit dans l'espace dit de configuration, c'est-à-dire sur l'ensemble des coordonnées ou paramètres généralisés de Lagrange, une métrique non euclidienne, et il montre que l'ensemble des surfaces d'égale action peut être assimilé à un ensemble de surfaces d'ondes. Formant alors l'hypothèse que les ondes envisagées sont sinusoïdales par rapport à une fonction linéaire de l'action, il établit la coïncidence entre la vitesse de groupe des ondes (cf. ondes [physique]) et la vitesse du point représentatif du système mécanique considéré.
Ainsi, le résultat que Louis de Broglie avait trouvé pour l'onde de phase d'un électron en faisant appel à la théorie de la relativité se trouve intégré dans une perspective plus large. Il importe d'y fixer la forme de l'équation d'onde convenable dans l'espace de configuration, en considérant la seule donnée utilisable qu'est l'expression de la vitesse de phase (et non plus la vitesse de groupe) en fonction de l'énergie ou de la fréquence. Cette vitesse étant :
où les opérations différentielles sont définies dans l'espace de configuration doté de la métrique non euclidienne évoquée plus haut.
Il s'agit bien d'une proposition. Schrödinger insiste sur le fait qu'après avoir été conduit par la formalisation hamiltonien […]
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