3. Équilibre et stabilité
Les équilibres connus, le problème qui se pose immédiatement à leur propos est celui de savoir s'ils sont des « attracteurs » du modèle, c'est-à-dire si le processus défini dans le cadre de celui-ci converge vers l'un d'entre eux, quel que soit le point de départ, ou la condition initiale, X0. C'est le problème de la stabilité du système. Si Xt tend vers l'un de ses équilibres, quel que soit X0, alors on dit qu'il y a stabilité globale. Cette propriété, si elle est vérifiée, donne une forte justification aux raisonnements à l'équilibre, puisqu'il en découle que le système aboutira à l'un ou l'autre de ses équilibres, du moins « au bout d'un certain temps ». Évidemment, s'il n'y a qu'un seul équilibre, alors celui-ci est le seul « attracteur » du système ; il ne peut donc que jouer un rôle privilégié. Dans le cas où il y a plusieurs équilibres, la situation est plus complexe, car il n'y a pas a priori de raison d'accorder plus d'importance à l'un d'entre eux. On peut toutefois chercher à comparer leurs « bassins d'attraction » respectifs, leurs ensembles de stabilité – l'ensemble de stabilité S d'un équilibre Xe est l'ensemble des conditions initiales X0 telles que, si X0 appartient à S, alors Xt tend vers Xe lorsque t tend vers l'infini. Les ensembles de stabilité des équilibres peuvent donc être de tailles très différentes : cela va de l'espace tout entier (c'est le cas de l'équilibre unique qui « attire » toutes les trajectoires) à un seul point de cet espace (l'équilibre est alors « totalement instable » : il n'est jamais atteint, sauf si on le prend pour condition initiale). Un cas que l'on retrouve assez souvent dans certaines théories économiques est celui du point-selle, où l'ensemble de stabilité de l'équilibre considéré se réduit à une droite, l'« axe de la selle » : le système ne converge vers l'équilibre que si la condition initiale X0 est choisie sur cet axe, qui est, de ce fait, privilégié par le théoricien.
Le cas où il y a stabilité globale est plutôt exceptionnel. En règle générale […]
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