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INTÉGRALES ÉQUATIONS

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4.  Principaux cas particuliers

Dans le cas de Volterra (cf. supra, fin du chap. 2), la déterminante ne peut s'annuler. On retrouve ce fait en remarquant que :

si x1, ..., xn sont deux à deux distincts, d'où :

Le cas de Goursat est celui où le noyau K est de la forme :

 les hi étant linéairement indépendantes dans C(A), ainsi que les ki. Dans ce cas, on a :
pour n > p ; dont D(λ) est un polynôme de degré ≤ p et le noyau K a au plus p valeurs singulières.

Le noyau K est dit hermitien si :

c'est-à-dire si :
quels que soient x et ξ ∈ A. Dans ce cas, chaque déterminant de Fredholm :
est réel et les valeurs singulières aussi ; car :
entraîne la relation :

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ASYMPTOTIQUES CALCULS

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT, Jean-Luc VERLEY

Dans le chapitre "Cas des fonctions définies par des intégrales"  : …  *Nous dégagerons ici trois méthodes importantes pour étudier le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre lorsque ce paramètre tend vers l'infini… Lire la suite
CARLEMAN TORSTEN (1892-1949)

Écrit par :  Jacques MEYER

… *Avant d'enseigner, Carleman travailla à l'université d'Upsal (où il il fit ses études supérieures) et publia une trentaine d'articles mathématiques traitant de la théorie des fonctions d'une variable réelle ou complexe et de la théorie des équations intégrales ; parmi ces œuvres, les plus connues sont : Sur les équations singulières à noyau… Lire la suite
FREDHOLM IVAR (1866-1927)

Écrit par :  Jean-Luc VERLEY

… *Mathématicien suédois dont le nom reste attaché à la théorie des équations intégrales. Né à Stockholm, Fredholm obtint son doctorat ès sciences à Uppsala en 1898, puis il fut attaché comme maître de conférences de physique mathématique à l'université de Stockholm. Il conserva ce poste jusqu'à sa nomination, en 1906, comme professeur de mécanique… Lire la suite
HAAR ALFRÉD (1885-1933)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Mathématicien hongrois, né à Budapest et mort à Szeged. Élève de David Hilbert à Göttingen (1905-1910), Alfred Haar, après un court passage à l'École polytechnique de Zurich, devint en 1912 professeur à l'université de Klausenburg (Kolozsvár), où enseigna F. Riesz. Lorsqu'en 1918 Klausenburg devint roumain (Cluj Napoca), Haar et Riesz partirent… Lire la suite
HILBERT DAVID (1862-1943)

Écrit par :  Rüdiger INHETVEEN, Jean-Michel KANTOR, Christian THIEL

Dans le chapitre "Analyse mathématique"  : …  destinées à aplanir les difficultés rencontrées ultérieurement dans la théorie. Il adjoint à l'*équation intégrale considérée un système linéaire fini dont il exprime la solution par des déterminants, puis retourne au cas continu en effectuant des passages à la limite dans les déterminants. Hilbert retrouve ainsi les résultats de Fredholm, mais… Lire la suite
ORTHOGONAUX POLYNÔMES

Écrit par :  Jean-Louis OVAERT

Dans le chapitre "Équation intégrale de Fredholm"  : …  *Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction y ↦ k (x, y) f (y) est intégrable sur E et la fonction g, définie… Lire la suite
PICARD ÉMILE (1856-1941)

Écrit par :  Michel HERVÉ

Dans le chapitre "La méthode de Picard"  : …  équations différentielles (dans une note du 18 mars 1891 au Bulletin de la S.M.F.) ; aux *équations intégrales (cf. équationsintégrales, chap. 2). Tout cela se tient : ainsi, pour appliquer la méthode à l'équation différentielle du premier ordre y′ = f (x, y), on remplace cette équation et la… Lire la suite
RADON JOHANN (1887-1956)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *Pensée abstraite et pouvoir d'adaptation fondé sur l'intuition géométrique, tel est le double talent mathématique de l'Autrichien Johann Radon, qui est aussi bien capable de créer une théorie générale ou de traiter un problème particulier. Né à Tetschen (Bohême), Johann Radon fit ses études à l'université de Vienne (1905-1910), puis fut nommé… Lire la suite
RIESZ FRÉDÉRIC (1880-1956)

Écrit par :  Béla SZŐKEFALVI-NAGY

Dans le chapitre "Espaces fonctionnels"  : …  (J. von Neumann, F. Riesz, M. H. Stone). Ces recherches étaient en partie motivées par l'étude des* équations intégrales. En ce domaine, la contribution la plus importante de Riesz est d'avoir établi l'alternative de Fredholm pour toute équation linéaire x − Kx = y dans un espace vectoriel normé et pour un… Lire la suite
SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Écrit par :  Jean-Pierre KAHANE

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… *Mathématicien italien, né à Ancône et mort à Rome, dont les travaux portent sur l'analyse mathématique et ses applications à la mécanique, la physique et la biologie. Vito Volterra fit ses études à Florence, puis à Pise et enseigna successivement à Pise, Turin et, enfin, Rome, où il succéda à E. Beltrami, en 1900. Volterra est le créateur de l'… Lire la suite

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