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INTÉGRALES ÉQUATIONS

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3.  Méthode de Fredholm

Supposons toujours A compact et le noyau K continu sur A2. Si l'on partage A en p parties Ai de mesures αi, i = 1, ..., p, et si l'on choisit xi ∈ Ai pour chaque indice i, on peut considérer le système linéaire :

comme une approximation de (1) ; or son déterminant est un polynôme en λ de degré ≤ p, dont le terme de degré n, 1 ≤ n ≤ p, a pour limite, quand le plus grand des diamètres des αi, tend vers 0, le monôme :
où la notation de Fredholm :
désigne le déterminant des n2 fonctions K(xi, ξj), i et j = 1, ..., n.

Le monôme (9) est le terme général d'une série entière convergente pour tout λ ∈ C ; en ajoutant à la série un terme constant égal à 1, on obtient une fonction entière D(λ) appelée déterminante du noyau K et aussi déterminante du noyau transposé K∼ défini par :

Le produit de cette déterminante et du noyau résolvant est encore une fonction entière de λ :

Le premier théorème de Fredholm affirme que, si D(λ) ≠ 0, pour tout second membre f ∈ C(A), l'équation (1) a une solution unique, encore donnée par (6), avec maintenant :[…]

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Dans le chapitre "Cas des fonctions définies par des intégrales"  : …  *Nous dégagerons ici trois méthodes importantes pour étudier le comportement asymptotique d'intégrales dépendant d'un paramètre lorsque ce paramètre tend vers l'infini… Lire la suite
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HAAR ALFRÉD (1885-1933)

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