4. Courant intuitionniste
Un courant original de l'épistémologie fondationnelle de la mathématique doit être cité à part, même s'il a donné lieu, lui aussi, à des formulations d'espèce logico-analytique, lui donnant droit de cité au sein de l'ensemble que nous venons d'évoquer : c'est le courant intuitionniste, issu de la réflexion rebelle du mathématicien Luitzen E. J. Brouwer (1881-1966) au début du xxe siècle, et de son débat intense et houleux avec David Hilbert (1862-1943), le père de la mathématique formelle contemporaine. Dans le fond, en effet, la vision brouwerienne du problème épistémologique n'est pas compatible avec le cadre d'interrogation défini par Paul Benacerraf : en substance, Brouwer pense que la « façon de prétendre à la vérité » et « d'être vrai » qui est propre à un énoncé mathématique n'est pas celle des énoncés ordinaires portant sur le monde, en telle sorte que le projet de rattacher à la réalité commune les objets mathématiques et de définir une sémantique classique pour le discours à leur sujet n'est pas le bon. Les objets mathématiques sont, pour Brouwer, des constructions et des intuitions à la fois, et les énoncés mathématiques sont, en quelque sorte, des comptes rendus de constructions révélant les objets construits sous tel ou tel angle : leur vérité réside dans la disponibilité et la clarté intuitive de la construction sous-jacente. Le courant intuitionniste, en profondeur, est lié à la conception de la mathématique qui fut celle du rationalisme philosophique transcendantal allemand avant l'ère analytique : c'est du côté de Kant ou de Husserl qu'une épistémologie intuitionniste de la mathématique trouve aujourd'hui encore son langage, ses concepts, ses arguments ; la réflexion et le travail d'un grand logicien néo-intuitionniste, Per Martin-Löf (né en 1942), en portent témoignage.
De l'école intuitionniste, il faut dire aussi qu'elle ne reconnaît pas, en un sens, la frontière entre épistémologie de la mathématique et mathématique elle-même, ni sans doute la frontière entre logique et mathématique. D'une part, Brouwer et ses successeurs ont essayé de définir une façon de faire de la mathématique qui ne se séparerait jamais du « sous-sol » intuitif et constructif que l'épistémologie intuitionniste dégage. D'autre part, la mathématique constructive qui obéit à ce programme se situe souvent à l'intersection de la logique et de la mathématique, refusant d'être exclusivement classée d'un côté ou de l'autre. L'ouvrage Foundations of Constructive Mathematics (1985), de Michael Beeson (né en 1945), rend compte de ces deux aspects.
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