2. Relations
• Produit cartésien
Le couple
Soit E et F deux ensembles. Pour x ∈ E et y ∈ F, on introduit un nouvel objet mathématique, le couple de premier terme x et de second terme y, défini par le symbole :
On appelle produit cartésien de deux ensembles E et F, noté E × F, l'ensemble des couples ayant pour premier terme un élément de E et pour second terme un élément de F. Par exemple, si E = {a, b, c} et F = {A, B} sont des ensembles à trois et deux éléments respectivement, l'ensemble E × F a six éléments qui sont :
Justifions la terminologie de cartésien. Le choix de deux axes de coordonnées dans le plan de la géométrie élémentaire permet d'identifier l'ensemble des points du plan à l'ensemble R × R = R2 des couples de nombres réels, au point M correspondant le couple ayant pour premier terme l'abscisse de M et pour second terme son ordonnée ; c'est le principe de la géométrie analytique de Descartes, chez qui apparaît pour la première fois la notion mathématique de couple.
De nos jours, on définit souvent ainsi le plan de la géométrie élémentaire ; dans ce qui suit, cette identification sera toujours faite.
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