8. Au-delà de ZF
De nombreux problèmes n'étant pas, comme on l'a vu, décidés par la théorie ZF, il est naturel d'entreprendre l'étude de nouveaux axiomes. Cette étude ne se limite pas à ceux qui ont, comme l'axiome de Martin, été reconnus compatibles avec ZF en ce sens qu'on a produit une preuve de non-contradiction de la théorie obtenue en les ajoutant à ZF (à partir de la non-contradiction de ZF). Elle englobe aussi l'analyse d'hypothèses plus fortes que ZF.
• Grands cardinaux et théorie des dièses
La recherche d'axiomes plus forts que la théorie des ensembles s'est développée à l'origine dans la théorie des cardinaux. De nombreuses propriétés ont été étudiées et comparées, l'existence de cardinaux vérifiant ces propriétés constituant autant d'axiomes de grands cardinaux. Nous ne retiendrons ici que l'hypothèse d'Ulam, qui affirme l'existence d'ensemble infinis I tels que P(I) porte une mesure nulle sur les parties finies et σ-additive. On montre que le cardinal d'un tel ensemble I est gigantesque et excède en particulier les premiers inaccessibles ; l'hypothèse d'Ulam contredit l'axiome de constructibilité et a même pour conséquence que les parties de N constructibles à partir de l'une d'entre elles forment un ensemble dénombrable. Cela permet de prouver que tout ensemble Σ12 est mesurable-Lebesgue et d'autres résultats sur les Σ12. C'est là une des conséquences les plus frappantes de l'existence des cardinaux mesurables qui n'a guère trouvé son équivalent dans l'étude d'autres types de grands cardinaux.
L'exploration des modèles M de la théorie des ensembles où existent des cardinaux mesurables utilise des outils élaborés de théorie des modèles (convenablement formalisés dans M). C'est ainsi que, dans ces modèles, il existe une partie de N notée 0♯ qui code les formules vraies dans le modèle intérieur des constructibles. Ce fait a conduit à la formulation autonome d'une autre hypothèse notée « 0♯ existe » et exprimant essentiellement l'existence d'une famille (non dénombrable) d'ordinau […]
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