7. La pratique mathématique dans les différents modèles de ZF
Ainsi qu'on l'a noté dans l'introduction, la pratique mathématique est peu affectée par la pluralité des modèles de ZF. De nombreuses questions ne sont en effet pas sensibles aux changements de modèles ; les exemples qui suivront rendront cette assertion un peu plus précise, tout en marquant ses limites.
• Topologie et théorie descriptive des ensembles
La théorie descriptive des ensembles est issue des travaux de l'école de Lusin sur les ensembles analytiques et projectifs. En nous bornant aux espaces topologiques Rn, rappelons que les boréliens sont les éléments de la plus petite famille de parties de Rn contenant les ouverts et stable par réunion dénombrable et complémentation. Les ensembles analytiques de Rn sont les projections des ensembles boréliens de Rn+1 ; on les appelle aussi Σ11. Leurs compléments sont coanalytiques, ou Π11. À partir des Π11, on obtient par projection les Σ12 ; à partir de ceux-ci, par complémentation, les Π12 et ainsi de suite. Les ensembles projectifs sont tous les ensembles obtenus après un nombre fini de ces opérations. Le fait que la logique s'introduise naturellement dans la théorie descriptive tient à l'analogie entre les opérations de projection et de complémentation d'une part, le quantificateur ∃ et le connecteur ¬ d'autre part. Cette analogie peut, au demeurant, être rendue précise.
L'énoncé qui suit regroupe un certain nombre de résultats importants de la théorie descriptive classique, tous antérieurs à 1938.
Théorème.(1) Tout ensemble Σ11 non dénombrable admet un sous-ensemble parfait non vide (et a donc la puissance du continu) ;(2) tout ensemble Σ11 est mesurable-Lebesgue ; (3) tout ensem […]
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