ENSEMBLES (THÉORIE DES) Théorie axiomatique

Thématique

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• 1. Mathématiques  » 
  2. Logique mathématique et fondements des mathématiques  » 
  3. Théorie des ensembles

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ENSEMBLES (THÉORIE DES)

Écrit par :  Universalis

Toute pensée formalisée s'exprime de nos jours dans le langage de la théorie des ensembles, qui a ainsi envahi toutes les disciplines, sciences humaines comprises. Dès l'école primaire, l'enfant apprend à classer des objets suivant leur forme, leur couleur, leur taille, à établir entre eux des correspondances, préambules à des… Lire la suite

ENSEMBLES (THÉORIE DES) - Théorie élémentaire

Écrit par :  André ROUMANET, Jean-Luc VERLEY

L'algèbre des ensembles et l'étude abstraite des relations sont d'une importance croissante dans toutes les disciplines qui cherchent à s'exprimer dans un cadre rigoureux. En mathématiques, c'est l'interrogation sur les fondements de cette science, ainsi que les tentatives de formalisation des opérations logiques de la pensée qui ont conduit à… Lire la suite

CANTOR : THÉORIE DES ENSEMBLES

Écrit par :  Bernard PIRE

Georg Cantor (1845-1918), professeur de mathématiques à l'université de Halle (Allemagne), publie en 1874 dans le Journal de Crelle l'article fondateur de la théorie des ensembles. Après quelques travaux en théorie des nombres et une rencontre décisive avec le mathématicien Richard Dedekind (1831-1916), Cantor s'était consacré à l'étude… Lire la suite

BADIOU ALAIN (1937- )

Écrit par :  Elie DURING

Dans le chapitre "Le multiple pur"  : …  « inconsistant » du multiple pur, est le motif initial déployé par L'Être et l'événement. *En témoignent à leur manière les apories suscitées par l'idée d'un ensemble de tous les ensembles (paradoxe de Russell), ou encore le fait que l'ensemble des parties ou sous-ensembles d'un ensemble donné est toujours plus grand que lui (théorème de… Lire la suite

BERNSTEIN FELIX (1878-1956)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien allemand naturalisé américain, spécialiste de la théorie des ensembles puis des statistiques appliquées. Né le 24 février 1878 à Halle (Allemagne), Felix Bernstein est le fils d'un spécialiste de l'électrobiologie. Élève de Georg Cantor (1845-1918) à Halle, Bernstein démontre en 1897 son fameux théorème sur l'équivalence des ensembles… Lire la suite

BOREL ÉMILE (1871-1956)

Écrit par :  Maurice FRÉCHET

Dans le chapitre "L'œuvre scientifique"  : …  pn(a), ... satisfaisant aux seules conditions Théorie* des ensembles et mesure des ensembles. Le premier, Borel définit les ensembles de nombres réels « de mesure nulle », comme pouvant être, quel que soit ε> 0, recouvert par une famille dénombrable de segments dont la somme des longueurs est… Lire la suite

BOURBAKI NICOLAS (XX^e s.)

Écrit par :  André MARTINEAU

Dans le chapitre "Construction logique et ensembliste"  : …  des mathématiques ont été initiés en suivant ce plan, au sortir de leurs études élémentaires. Dans* l'esprit d'un large public s'est donc développée cette idée que la théorie des ensembles est synonyme de la mathématique contemporaine. Bourbaki, désigné par la renommée publique comme porte-drapeau de cette mathématique, a été tenu pour responsable… Lire la suite

CONCEPTUALISME, philosophie

Écrit par :  Joseph VIDAL-ROSSET

Dans le chapitre "Le prédicativisme, expression logique du conceptualisme ontologique"  : …  prédicativisme. Celui-ci a son origine dans les efforts de Russell pour résoudre les paradoxes de la* théorie naïve des ensembles (la théorie simple des types étant une des premières solutions). Le prédicativisme relève d'une position constructiviste en mathématiques mais se distingue d'une autre position constructiviste qu'est l'intuitionnisme. Il… Lire la suite

CONSTRUCTION, mathématique

Écrit par :  André WARUSFEL

… tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir du très strict nécessaire. *Après de nombreuses crises, on en est arrivé à bâtir cette science sur le socle de la théorie des ensembles, elle-même axiomatisée (par exemple par les systèmes de Zermelo-Fraenkel ou Gödel-von Neumann). Aujourd'hui, tout objet mathématique… Lire la suite

FONDATIONNALISME ET ANTIFONDATIONNALISME, mathématique

Écrit par :  Jean-Paul DELAHAYE

…  d'une contradiction). Ce souci de garantir les mathématiques est né de la période dite *de la crise des fondements au début du xx^e siècle où, à la suite de la découverte de paradoxes (ou antinomies) en théorie des ensembles, un doute s'empara de la communauté mathématique. Cependant, ce projet n'est plus à l'ordre du… Lire la suite

FRAENKEL ADOLF ABRAHAM HALEVI (1891-1965)

Écrit par :  Bernard PIRE

… *Mathématicien allemand, spécialiste de la théorie des ensembles. Né le 17 évrier 1891 à Munich (Allemagne), Adolf Abraham Halevi Fraenkel fait ses études supérieures dans différentes universités, à Munich, Marburg, Berlin puis Breslau. Ses premiers travaux concernent les nombres p-adiques et la théorie des anneaux. Il enseigne à partir de… Lire la suite

GRAPHES THÉORIE DES

Écrit par :  Hervé RAYNAUD

…  ont ouvert une rubrique intitulée « Théorie des graphes ». Située dans cette publication entre la *théorie des ensembles et la logique mathématique, elle rend compte aujourd'hui de très fréquents articles. On peut dire qu'il s'agit d'une théorie relativement récente. L'originalité de son champ propre, du point de vue psychologique, est étonnante.… Lire la suite

HAUSDORFF FELIX (1868-1942)

Écrit par :  Jeanne PEIFFER

… *La renommée du mathématicien allemand Felix Hausdorff repose surtout sur son ouvrage Grundzüge der Mengenlehre (1914), qui en fit le fondateur de la topologie et de la théorie des espaces métriques. Né à Breslau dans une famille de marchands aisés, Hausdorff fit ses études secondaires à Leipzig, puis étudia les mathématiques et l'… Lire la suite

INTÉGRATION ET MESURE

Écrit par :  André REVUZ

Dans le chapitre "Formulation de la question"  : …  il faut d'abord savoir ce que l'on entend par « région » du plan. Le plan étant considéré comme un *ensemble dont les éléments sont les points, le projet le plus ambitieux sera de considérer que tout sous-ensemble du plan doit avoir une aire. Cela signifierait donc que l'on peut définir une application m (appelée mesure universelle) de l'… Lire la suite

LOGIQUES NON CLASSIQUES

Écrit par :  Jacques-Paul DUBUCS,  Universalis

Dans le chapitre "La théorie des ensembles flous"  : …  *S'agissant des prédicats vagues du discours ordinaire, le défaut le plus visible des logiques trivalentes est le suivant : on y considère que l'assignation d'une valeur classique V ou F à l'énoncé ϕa est injustifiable lorsque a est un cas limite de ϕ, et on lui attribue une tierce valeur. Mais, à côté des objets x dont il… Lire la suite

MATHÉMATIQUE

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Dans le chapitre "Une science hypothético-déductive"  : …  permettant de définir de nouvelles notions, de former des expressions et d'en déduire de nouvelles. *Parmi les notions premières, les principales sont celles d'ensemble et d'appartenance, qui sont liées par divers axiomes pour former la théorie des ensembles. Les objets mathématiques, c'est-à-dire les entités abstraites que définit (ou adopte comme… Lire la suite

NICOLAS BOURBAKI (A. Aczel)

Écrit par :  Bernard PIRE

…  est écrite par Jean Dieudonné, est approuvé à l'unanimité : le « Paquet abstrait » développe la *théorie des ensembles qui, selon Bourbaki, fonde l'édifice entier des mathématiques modernes. Il est également décidé que la topologie et les espaces vectoriels topologiques constitueront le prochain sujet d'études, et que chaque volume aura un… Lire la suite

NOMBRE

Écrit par :  Jean-Marie PRUVOST-BEAURAIN

Dans le chapitre "Notion mathématique de nombre"  : …  *La fondation de la théorie des ensembles par Georg Cantor à la fin du xix^e siècle a permis de donner d'un nombre une définition mathématique précise. Dans le cadre d'un système axiomatique de la théorie des ensembles, en général celui de Zermelo et Fraenkel, les ensembles de nombres sont définis les uns à partir des autres,… Lire la suite

NUMÉRATION

Écrit par :  Josette ADDA

Dans le chapitre "Cardinaux"  : …  Plusieurs *ensembles d'objets étant donnés, on peut opérer un classement en rangeant dans une même « classe » les ensembles ayant autant d'éléments. Les ensembles d'une même classe sont dits « équipotents ». Ces exercices présentent l'inconvénient de ne porter que sur des ensembles finis, mais permettent de bien mettre en évidence la notion… Lire la suite

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