5. Construction de modèles de ZF
Dans cette section, on va présenter plusieurs techniques permettant de passer d'un modèle M de ZF à un autre M′ : ensembles constructibles, ensembles définissables à partir d'ordinaux, extensions génériques. Pour chaque construction, on s'est attaché à donner un résultat global fournissant une définition précise de M′ à partir de M, mais laissant de côté les détails de la construction proprement dite de M′, lesquels nécessiteraient de longs développements.
• Modèles intérieurs ; ensembles constructibles
Soit M un modèle de ZF. On rappelle qu'un tel modèle est la donnée d'une collection d'objets M munie d'une relation binaire E, appelée relation d'appartenance du modèle. Une partie X de M est un modèle intérieur de M si les conditions suivantes sont satisfaites :
– X contient les ordinaux de M,
– X est transitive (tout objet qui appartient au sens de M à un élément de X est aussi élément de X),
– le modèle obtenu en munissant X de la restriction de E à X est un modèle de ZF.
La recherche de modèles intérieurs minimaux conduit immédiatement à la notion d'ensemble constructible.
Théorème. Soit M un modèle de ZF. Il existe un plus petit modèle intérieur de M noté LM. De plus, il existe un énoncé L (v) à une variable libre v, indépendant du modèle M qui permet de définir LM dans M.
L'énoncé L (v) se lit « v est constructible ». LM est formé des objets a de M qui sont constructibles dans M, c'est-à-dire qui sont tels que L(a) soit vrai dans M.
La notion d'ensemble constructible est due à Kurt Gödel (1938) ; il est bien évident que la partie difficile de la preuve du théorème ci-dessus correspond à la construction explicite de LM dans M. Plusieurs choix sont possibles. L'un deux, inspiré de la construction inventée initialement par Gödel, a été mis à l'honneur par les travaux de R. B. Jensen, que nous analyserons au chapitre 8 ; il est fondé sur l'utilisation des fonctions de Gödel qui sont les relations fonctionnelles suivantes :
… pour nos abonnés, l'article se prolonge sur 17 pages…
