4. Les limites de ZF
Ainsi qu'on l'a mentionné à plusieurs reprises, l'axiome du choix ne peut être décidé dans ZF et, de même, l'hypothèse du continu ne peut être décidée dans ZFC, plus précisément :Théorème.(I) Si la théorie ZF est non contradictoire, alors la théorie ZFC est non contradictoire et aussi la théorie ZFC augmentée de l'hypothèse du continu.(II) Si la théorie ZF est non contradictoire, alors la théorie ZF augmentée de la négation de l'axiome du choix est non contradictoire ; de même, pour la théorie ZFC à laquelle on adjoint la négation de l'hypothèse du continu.
La partie I est due à Gödel (1938) et la partie II à Cohen (1963). Avant de présenter les techniques utilisées dans les preuves, il paraît utile de réfléchir à la nature mathématique de résultats tels que I et II, qu'on appelle résultats de non-contradiction relative. Tout d'abord, rappelons que le théorème d'incomplétude de Gödel exclut toute démonstration de non-contradiction absolue : on ne peut établir dans ZF que ZF est non contradictoire et cela vaut également pour toutes les variantes de ZF. Par ailleurs, il est tentant, pour comprendre la notion de non-contradiction relative, d'invoquer le théorème de complétude ; bornons-nous, dans la discussion, à examiner la non-contradiction relative de ZFC ; par complétude, celle-ci se trouve établie dès qu'on a fourni une méthode permettant de passer d'un modèle M de ZF à un modèle M′ de ZFC. Comme nous l'avons mentionné dans l'introduction de cet article, cela conduit à une conception pluraliste de la théorie des ensembles et à l'étude de ses divers modèles. Cependant, la démonstration de la non-contradiction relative de ZFC esquissée plus haut n'est pas satisfaisante au niveau des fondements : seule est acceptable une méthode effective permettant d'associer à toute preuve formelle d'une contradiction à partir des axiomes de ZFC une autre n'utilisant que les axiomes de ZF ; une telle méthode est dite finitiste. Pour justifier malgré tout l'adoption du poin […]
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