2. Ordinaux et cardinaux. Axiome du choix
L'étude des ordinaux puis des cardinaux est fondamentale en théorie des ensembles car elle explicite la notion d'itération illimitée d'un même procédé, qui fut à la base des découvertes de Cantor. Elle permet également de résoudre les deux problèmes suivants.(A) Trouver une relation fonctionnelle associant à chaque ensemble bien ordonné x un ensemble hx de façon que deux ensembles bien ordonnés x et y soient isomorphes (c'est-à-dire qu'il existe une bijection croissante de x sur y) si et seulement si hx = hy.(B) Trouver une relation fonctionnelle associant à chaque ensemble x un ensemble kx de façon que x et y soient en bijection si et seulement si kx = ky.La théorie des ordinaux fournit la solution du premier problème et celle des cardinaux fournit celle du second, moyennant l'usage de l'axiome du choix qui sera décrit plus loin. Il est impossible de résoudre le problème (B) dans ZF-, mais on verra au chapitre 3 que l'axiome de fondation permet une théorie des cardinaux en l'absence d'axiome du choix.
• Les ordinaux
L'axiome de l'infini (6) garantit l'existence d'un ensemble x tel que l'on ait :
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